◈ Savoir-faire
Lire les arcs, choisir la propriété, calculer et justifier.
Les cinq temps du parcours
- 1ComprendreIdentifier l’angle, la longueur, l’aire ou la construction demandée.
- 2TraduireFaire une figure à main levée et marquer les arcs et les positions.
- 3Choisir l’outilAngle au centre, même arc, tangente, supplémentarité ou sinus.
- 4CalculerÉcrire la relation puis les valeurs ; garder les unités et les valeurs exactes.
- 5ConclureRépondre et contrôler la cohérence des angles, longueurs ou aires.
Si tu vois… pense à…
| Si tu vois… | Pense à… |
|---|---|
| Un angle au centre | Chercher l’arc associé puis diviser par deux. |
| Deux angles sur le même arc | Égalité des angles inscrits. |
| Une tangente et une corde | Choisir la demi-tangente et l’arc intérieur. |
| Deux sommets de part et d’autre | Somme des angles inscrits égale à 180°. |
| Une bissectrice | Milieu de l’arc opposé au sommet ; cordes égales. |
| Un lieu de points voyant AB sous α | Construire les deux arcs capables ; exclure A et B. |
| Une aire de triangle | ½ × deux côtés × sinus de leur angle compris. |
| Un rayon circonscrit | Côté/sinus de l’angle opposé = 2R. |
| Un angle obtus | Sinus égal à celui de son supplémentaire. |
| « Dis qui a raison » | Calculer, justifier, puis répondre à l’affirmation. |
Onze fiches méthode
1. Reconnaître un angle inscrit
Démarche. Lis la lettre centrale pour identifier le sommet. Vérifie qu’il est sur le cercle. Repère les deux autres intersections des côtés avec le cercle et colorie l’arc opposé au sommet.
Exemple corrigé. Dans ∠AMB, le sommet est M ; les extrémités sont A et B ; l’arc intercepté est AB sans M.
Appeler inscrit tout angle dessiné dans un disque.
Vérifier la position du sommet, pas seulement celle des côtés.
2. Passer du centre au cercle
Démarche. Vérifie que les deux angles interceptent le même arc. Divise par deux du centre vers le cercle ; multiplie par deux dans l’autre sens.
Exemple corrigé. Angle au centre 86° : angle inscrit 43°. Angle inscrit 58° : angle au centre associé 116°.
Doubler dans les deux sens.
Écrire d’abord « inscrit = centre/2 ».
3. Justifier des angles égaux
Démarche. Vérifie le cercle commun. Identifie les extrémités de l’arc et la position des sommets. Cite l’arc commun dans la conclusion.
Exemple corrigé. C et D du même côté de (AB) : ∠ACB = 47° entraîne ∠ADB = 47°.
Utiliser seulement l’apparence du dessin.
Nommer les angles inscrits et l’arc qu’ils interceptent.
4. Utiliser les deux arcs
Démarche. Vérifie que les sommets sont sur le même cercle et de part et d’autre de la corde. Écris la somme 180° puis soustrais.
Exemple corrigé. ∠AMB = 64° donne ∠ANB = 180° − 64° = 116°.
Écrire que les deux angles sont égaux.
Contrôler les demi-plans contenant les sommets.
5. Corde et demi-tangente
Démarche. Identifie le point de tangence, la demi-tangente choisie et l’arc intérieur. Relie l’angle à l’angle inscrit ou au centre. Utilise le rayon perpendiculaire pour contrôler.
Exemple corrigé. Un angle aigu de 48° donne 96° au centre et 42° entre rayon et corde ; 48° + 42° = 90°.
Oublier que l’autre demi-tangente donne un autre angle.
Tracer les deux demi-tangentes et marquer celle de l’énoncé.
6. Bissectrice et milieu d’arc
Démarche. Partage l’angle au sommet par deux. Associe chaque demi-angle à son arc. Utilise les angles inscrits égaux pour retrouver les angles de BDC.
Exemple corrigé. A = 70° donne BAD = DAC = DBC = DCB = 35° ; BDC = 110° et DB = DC.
Confondre milieu d’arc et milieu de corde.
Placer D sur le cercle, sur l’arc qui ne contient pas A.
7. Construire un arc capable
Démarche. Trace [AB] et sa médiatrice. Pour α aigu, construis 90° − α en A pour trouver O. Trace les arcs du côté de leurs centres, puis exclus A et B. Pour α obtus, utilise le supplémentaire et conserve les autres arcs.
Exemple corrigé. Pour 52°, trace 38° en A. Pour 128°, construis les mêmes cercles puis sélectionne leurs arcs complémentaires.
Tracer les deux cercles entiers.
Épaissir uniquement les arcs répondant à l’angle demandé.
8. Calculer une aire avec le sinus
Démarche. Repère les deux côtés connus et leur angle compris. Vérifie les unités ; applique la demi-produit des côtés multiplié par le sinus.
Exemple corrigé. AB = 7, AC = 8, A = 150° : aire = ½ × 7 × 8 × sin 150° = 14 cm².
Oublier le sinus ou utiliser un angle non compris.
Marquer l’angle formé précisément par les deux côtés utilisés.
9. Théorème des sinus et rayon
Démarche. Nomme chaque côté et son angle opposé. Choisis un rapport entièrement connu. Calcule les autres côtés par multiplication et le rayon en divisant ce rapport par deux.
Exemple corrigé. c = 10, C = 60° : rapport = 20/√3 ; R = 10/√3 ≈ 5,774.
Prendre le rapport commun pour le rayon.
Écrire la chaîne des rapports avec « = 2R ».
10. Réussir une situation contextualisée
Démarche. Traduis les données en figure. Sépare les étapes : angle, longueur, aire. Cite une propriété à chaque transition, puis confronte le résultat aux affirmations.
Exemple corrigé. Rond-point : 120° au centre → 60° inscrit → AB = 40 sin 60° ≈ 34,64 m.
Répondre « Koffi a raison » sans preuve.
Terminer par une phrase appuyée sur le calcul et ses unités.
11. Rédiger une justification
Démarche. Écris les données utiles, nomme la propriété, présente le calcul puis conclus. Conserve les valeurs exactes jusqu’au dernier arrondi.
Exemple corrigé. C et D interceptent le même arc AB ; leurs angles inscrits sont égaux. Donc ∠ADB = ∠ACB = 35°.
Donner seulement « 35° ».
Faire apparaître pourquoi l’égalité est valable.
Douze erreurs à éviter
- Confondre centre et cercle. Repère le sommet : O au centre, M sur le cercle.
- Diviser le mauvais angle. Écris inscrit = centre/2 seulement pour le même arc.
- Ignorer le grand arc. L’angle au centre associé peut être rentrant.
- Oublier le cercle commun. La propriété des angles inscrits égaux demande le même cercle ou des conditions adaptées.
- Confondre les deux côtés de la corde. Même côté : égalité ; côtés opposés : somme 180°.
- Prendre la mauvaise demi-tangente. L’autre demi-tangente donne l’angle supplémentaire.
- Dire tangente parallèle au rayon. Au point de tangence, ils sont perpendiculaires.
- Confondre arc et segment. Le milieu d’arc appartient au cercle, le milieu de corde est intérieur.
- Conserver un cercle entier comme arc capable. Sélectionne les deux bons arcs et exclus A et B.
- Utiliser 90° − α pour α obtus. Passe par l’angle supplémentaire aigu et change d’arc.
- Oublier le sinus ou le facteur ½ dans l’aire. Écris la formule avant les nombres ; le résultat est en unités carrées.
- Confondre R et 2R ou arrondir trop tôt. Le rapport côté/sinus est le diamètre ; divise par deux et arrondis à la fin.
▤ Cours
Huit sections expliquées, avec figures et audios Remy.
1Angle inscrit
Lors d’un concours, on demande de construire les points M d’où un segment [AB] est vu sous un angle donné. Pour commencer, reconnaissons les angles formés dans un cercle.
Comprendre
Un angle inscrit dans un cercle a son sommet sur le cercle et ses côtés sont des demi-droites qui recoupent le cercle. Si A, B et M sont trois points distincts du cercle, ∠AMB est un angle inscrit : les segments [MA] et [MB] sont des cordes. Son arc intercepté est l’arc AB qui ne contient pas M, situé à l’intérieur de l’angle. Deux points A et B découpent le cercle en deux arcs : préciser lequel est indispensable.
Exemple résolu
Pour ∠AMB, on lit d’abord la lettre du milieu : le sommet est M. On repère ensuite A et B, puis on suit l’arc AB sans passer par M. Sur la figure, c’est l’arc orange. L’angle AOB n’est pas inscrit : son sommet O est au centre.
Sommet sur le cercle ; arc intercepté opposé au sommet. Les extrémités A et B et le sommet M sont distincts.
Ne confonds pas la corde [AB], segment droit, et l’arc AB, portion du cercle.
Vérifie-toi
O est le centre. ∠AOB est-il un angle inscrit ?
2Angle au centre
Deux élèves regardent le même arc : l’un depuis le centre, l’autre depuis le cercle. Leurs angles ne sont pas égaux.
Comprendre
Un angle au centre a pour sommet le centre O. L’angle inscrit mesure la moitié de l’angle au centre associé au même arc. Pour un arc mineur, on utilise l’angle au centre saillant ; pour un arc majeur, l’angle au centre associé est rentrant, de mesure supérieure à 180°. Un demi-cercle correspond à 180° : l’angle inscrit vaut donc 90°.
Exemple résolu
Si l’angle au centre associé vaut 100°, l’angle inscrit vaut 100° ÷ 2 = 50°. Réciproquement, un angle inscrit de 35° correspond à un angle au centre de 70°. Démonstration lorsque [MA] est un diamètre : O est sur [MA], et OM = OB. Le triangle OMB est isocèle, donc ∠OMB = ∠MBO = x. L’angle extérieur AOB vaut x + x = 2x. Comme ∠AMB = ∠OMB, on obtient la relation annoncée.
Même arc : angle inscrit = moitié de l’angle au centre associé. Pour un diamètre, l’angle inscrit est droit.
Vérifie l’arc avant de diviser par deux : l’angle saillant AOB ne représente pas toujours l’arc intercepté.
Vérifie-toi
Un angle inscrit vaut 42°. Quelle est la mesure de l’angle au centre associé ?
3Même arc ou arcs de même longueur
En déplaçant le point d’observation sur un même arc du cercle, l’angle sous lequel on voit la corde reste constant.
Comprendre
Deux angles inscrits dans un même cercle qui interceptent le même arc sont égaux : chacun vaut la moitié du même angle au centre. Dans un même cercle, deux arcs de même longueur donnent aussi des angles inscrits égaux. Réciproquement, des angles inscrits égaux interceptent des arcs de même longueur dans ce cercle. Pour une corde AB fixée, des sommets C et D sur le cercle et du même côté de (AB) interceptent le même arc.
Exemple résolu
A, B, C et D sont sur un même cercle ; C et D sont du même côté de (AB). Si ∠ACB = 32°, alors ∠ADB = 32°. La justification est « angles inscrits interceptant le même arc AB », pas « le dessin semble symétrique ». L’angle au centre associé vaut 64°.
Mêmes extrémités et sommets du même côté de la corde, sur le même cercle : angles inscrits égaux.
La même corde ne suffit pas : de l’autre côté de (AB), l’angle est supplémentaire, et non égal en général.
Vérifie-toi
C et D sont du même côté de (AB) sur le cercle. ∠ACB = 47°. Calcule ∠ADB.
4Corde et demi-tangente
Une route tangente à un rond-point rencontre une corde joignant deux accès. Leur angle se calcule grâce au cercle.
Comprendre
La tangente en A est perpendiculaire au rayon [OA]. Une corde [AB] et une demi-tangente d’origine A forment un angle égal à l’angle inscrit interceptant l’arc AB situé à l’intérieur de cet angle. Les deux demi-tangentes donnent des angles supplémentaires : il faut choisir la bonne. La mesure est aussi la moitié de celle de l’angle au centre associé au même arc.
Exemple résolu
Sur la figure, ∠TAB = 50°. L’arc correspondant mesure 100° au centre, donc ∠AOB = 100°. Le triangle OAB est isocèle car OA = OB. Ainsi ∠OAB = (180° − 100°)/2 = 40°. Contrôle : ∠OAB + ∠BAT = 40° + 50° = 90°, conformément à OA perpendiculaire à AT.
Choisis la demi-tangente, repère l’arc intérieur, puis utilise l’égalité avec l’angle inscrit associé.
L’autre demi-tangente donne ici 130°, pas 50°. Ne choisis pas automatiquement le plus petit angle.
Vérifie-toi
Un angle corde/demi-tangente aigu vaut 62°. Quel angle fait la corde avec le rayon intérieur adjacent ?
5Deux arcs de mêmes extrémités
Deux spectateurs placés de part et d’autre d’une corde, sur le cercle, ne voient généralement pas le même angle.
Comprendre
Soient A, B, M et N quatre points distincts d’un cercle, M et N de part et d’autre de (AB). Les angles ∠AMB et ∠ANB interceptent les deux arcs complémentaires d’extrémités A et B. Les mesures des angles au centre associés totalisent 360°. Leurs moitiés totalisent 180° : ∠AMB + ∠ANB = 180°. Ces angles sont supplémentaires.
Exemple résolu
Si ∠AMB = 70°, alors ∠ANB = 180° − 70° = 110°. On contrôle 70° + 110° = 180°. Sur la figure, les valeurs sont 50° et 130°. Si AB est un diamètre, on obtient 90° de chaque côté : c’est le cas particulier où les deux angles sont aussi égaux.
Sur le même cercle : même côté de la corde → égalité ; côtés opposés → somme de 180°.
Deux angles supplémentaires ont une somme de 180°, et non de 90°.
Vérifie-toi
∠ANB = 100° et M est de l’autre côté de (AB). Calcule ∠AMB.
6Bissectrice et milieu d’arc
On veut partager un angle inscrit en deux angles égaux : le cercle donne un repère géométrique pour tracer la bissectrice.
Comprendre
Dans le triangle ABC inscrit, la bissectrice intérieure de ∠BAC recoupe le cercle en D. Les angles ∠BAD et ∠DAC sont égaux ; ils interceptent les arcs BD et DC ne contenant pas A. Ces arcs ont la même longueur : D est le milieu de l’arc BC qui ne contient pas A. Les cordes correspondantes sont égales : DB = DC. Réciproquement, ce milieu d’arc permet de construire la bissectrice.
Exemple résolu
Si ∠BAC = 64°, alors ∠BAD = ∠DAC = 32°. ∠DBC et ∠DAC interceptent le même arc DC, donc ∠DBC = 32°. De même, ∠DCB = ∠DAB = 32°. Dans BDC, ∠BDC = 180° − 32° − 32° = 116°. Les deux angles à la base sont égaux : DB = DC.
La bissectrice rejoint le milieu de l’arc opposé au sommet ; ce point est équidistant de B et C.
Le milieu de l’arc BC n’est pas le milieu du segment [BC]. La bissectrice n’est pas forcément une médiane du triangle ABC.
Vérifie-toi
Si ∠BAC = 70°, combien valent ∠DBC et ∠BDC ?
7Construire un arc capable
Reprenons le concours : pour deux points distincts A et B, construisons les points M tels que ∠AMB = α, avec 0° < α < 180°.
Comprendre
Cet ensemble est constitué de deux arcs symétriques par rapport à (AB), privés de A et B. Pour α = 90°, c’est le cercle de diamètre [AB] privé de ses deux extrémités. Pour α aigu : tracer la médiatrice de [AB] ; en A, construire du côté choisi un angle OAB = 90° − α avec [AB). L’intersection avec la médiatrice est O. Tracer le cercle de centre O passant par A ; conserver l’arc AB du même côté de (AB) que O, puis son symétrique. Pour α obtus, poser β = 180° − α ; construire le cercle pour β aigu, puis conserver l’autre arc AB, du côté opposé à O. Construire ensuite son symétrique. Cette méthode convient aussi à un angle non remarquable, par exemple 52°.
Exemple résolu
Pour AB = 6 cm et α = 60° : ∠OAB = 30° et ∠AOB = 120°. Si I est le milieu de [AB], AI = 3 et OI = √3 cm. Le rayon OA vaut 2√3 cm. On trace les deux arcs, sans inclure A et B. Pour 120°, on utilise les mêmes cercles, mais on conserve les petits arcs de l’autre côté des centres. La figure représente AB = 4 et α = 60°.
Construis les centres sur la médiatrice et sélectionne les bons arcs. Aigu et obtus donnent des arcs différents ; les extrémités sont exclues.
La formule ∠OAB = 90° − α concerne α aigu. Pour un angle obtus, elle donnerait un angle négatif : utilise son supplémentaire.
Vérifie-toi
Pour construire un arc capable de 52°, quel angle construis-tu en A ?
8Aire et théorème des sinus
Un terrain triangulaire peut avoir un angle obtus. La formule de l’aire reste utilisable même lorsque le pied de la hauteur est hors du côté.
Comprendre
Dans ABC, on note a = BC, b = CA et c = AB. L’aire vaut ½bc sin A. Si H est le projeté orthogonal de C sur (AB), la hauteur vaut b sin A pour A aigu. Pour A obtus, h = b sin(180° − A) et on définit sin A = sin(180° − A), donc la même formule reste vraie. Dans tout triangle non aplati, le théorème des sinus donne a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, où R est le rayon du cercle circonscrit. Chaque côté doit être associé à l’angle opposé. Une justification utilise une corde de longueur a : l’angle inscrit et le triangle rectangle obtenu avec un diamètre donnent a = 2R sin A ; le cas obtus utilise le sinus de l’angle supplémentaire.
Exemple résolu
Avec AB = 7 cm, AC = 8 cm et A = 30° : h = 8 × 0,5 = 4 cm et aire = ½ × 7 × 8 × 0,5 = 14 cm². Pour A = 150°, sin 150° = sin 30° : même hauteur et même aire. Autre exemple : B = 45°, C = 60°, c = 10 cm. A = 75° ; 2R = 10/sin 60° ≈ 11,547 ; b ≈ 8,165 cm et a ≈ 11,154 cm. La figure montre un triangle distinct : b = 5, c = 6, h = 3, aire = 9.
Aire : deux côtés et le sinus de leur angle compris. Théorème des sinus : côté et angle opposé, avec un rapport égal au diamètre 2R.
Le rapport commun donne 2R, pas R. Pour calculer en degrés, règle la calculatrice sur DEG.
Vérifie-toi
R = 5 cm et A = 30°. Calcule a = BC.
? Quiz
Trois niveaux, correction immédiate. Vise 85 % avant de passer au niveau suivant.
?QCM de la leçon
Choisis ton niveau. Tu peux les faire dans l'ordre ou sauter directement à celui qui te va : la correction s'affiche tout de suite après chaque réponse.
✎ Exercices
Trois niveaux d'exercices corrigés. Cherche d'abord, corrige ensuite.
✎Exercices corrigés
Cherche d'abord sur ton cahier, ouvre la correction seulement après. Si tu bloques, relis la section indiquée.
◎ Vers le DS
10 exercices dans l'esprit des devoirs surveillés : 3 situations contextualisées et 7 exercices classiques.
Comment t'entraîner ? Fais l'exercice sur ton cahier, comme en devoir, avec le temps indiqué. Bloqué ? Demande un coup de pouce (il y en a 4, un par un). Ensuite seulement, ouvre la correction et compare avec le barème.