Seconde C · Mathématiques · Leçon 15

Droites et plans de l’espace

Savoir-faire, cours audio, quiz, exercices et préparation au DS

🧭 Savoir-faire

Lire l’espace, justifier les positions et construire une section.

Les 5 temps d’un exercice

Coche les étapes au fil de ton travail.

  1. 1ObserverLis le solide, les repères et les faces.
  2. 2TraduireÉcris les appartenances aux droites et aux plans.
  3. 3ChoisirSélectionne une propriété de position ou de parallélisme.
  4. 4ConstruireTrace face par face et justifie chaque étape.
  5. 5ConclureNomme précisément la droite, le point ou la section obtenue.

Si tu vois… pense à…

Trois points non alignésUn plan unique.
Deux points d’une droite dans un planToute la droite est incluse.
Deux droites sans point communParallèles ou non coplanaires : distingue les cas.
Deux points communs à deux plans distinctsLa droite d’intersection.
Une droite parallèle à une droite du planParallélisme au sens large ; vérifier l’inclusion.
Deux paires de directions sécantes parallèlesLe critère de parallélisme des plans.
Deux faces parallèles coupéesDes traces parallèles.
Une section à construirePasser d’une face à sa voisine jusqu’à fermer.

Les fiches méthode

🔎 Nommer un plan

Démarche

  1. Choisir trois points du plan.
  2. Vérifier qu’ils ne sont pas alignés.
  3. Écrire le triplet entre parenthèses.
Exemple expliqué

Dans le cube, (ABF) est le plan de la face avant.

❌ PiègeNommer un plan avec trois points alignés.
✅ Test rapideA, B et F ne sont pas alignés.
🔎 Prouver une inclusion

Démarche

  1. Trouver deux points distincts de la droite.
  2. Justifier que chacun appartient au plan.
  3. Appliquer la propriété droite–plan.
Exemple expliqué

A et C sont dans (ABC), donc (AC) est incluse dans (ABC).

❌ PiègeConclure à partir d’un seul point.
✅ Test rapideDeux points distincts sont nécessaires.
🔎 Prouver la non-coplanarité

Démarche

  1. Supposer qu’un plan contient les deux droites.
  2. Y repérer trois points non alignés qui imposent un plan connu.
  3. Exhiber un quatrième point extérieur à ce plan.
Exemple expliqué

Un plan contenant AB et CG serait (ABC) et contiendrait G : impossible.

❌ PiègeUtiliser seulement le croisement des traits.
✅ Test rapideLa contradiction porte sur une appartenance.
🔎 Trouver une intersection de plans

Démarche

  1. Vérifier que les plans sont distincts.
  2. Trouver deux points communs distincts.
  3. Conclure par la droite qui les joint.
Exemple expliqué

(ABF) ∩ (BCG) = (BF).

❌ PiègeDonner un segment quand on demande l’intersection des plans.
✅ Test rapideB et F sont deux points communs.
🔎 Prouver un parallélisme droite–plan

Démarche

  1. Chercher une droite du plan parallèle à la droite donnée.
  2. Citer un théorème plan ou une propriété du solide.
  3. Si le cas strict est demandé, donner un point extérieur.
Exemple expliqué

EF ∥ AB, AB incluse dans (ABC), E extérieur : EF strictement parallèle au plan.

❌ PiègeOublier le cas où la droite est incluse.
✅ Test rapideLe point extérieur distingue le cas strict.
🔎 Prouver un parallélisme de plans

Démarche

  1. Repérer deux droites sécantes dans chaque plan.
  2. Établir les deux parallélismes correspondants.
  3. Citer le critère, puis distinguer les plans si nécessaire.
Exemple expliqué

Dans un tétraèdre, deux segments joignant des milieux donnent deux directions parallèles à la base.

❌ PiègeSe contenter d’une seule direction.
✅ Test rapideNommer les points de sécance.
🔎 Tracer une section

Démarche

  1. Tracer la droite joignant deux repères d’une même face.
  2. Déterminer les rencontres avec les arêtes de cette face.
  3. Continuer sur les faces voisines et utiliser le parallélisme.
  4. Fermer le polygone et justifier chaque côté.
Exemple expliqué

La coupe à mi-hauteur du cube donne MNRS, pas un triangle MNR.

❌ PiègeS’arrêter après avoir relié les trois points donnés.
✅ Test rapideChaque côté doit être dans une face.
🔎 Couper une droite par un plan

Démarche

  1. Choisir un plan auxiliaire contenant la droite.
  2. Trouver son intersection avec le plan donné.
  3. Couper les deux droites dans ce plan auxiliaire.
  4. Vérifier qu’il n’y a pas inclusion.
Exemple expliqué

BD coupe (ACG) au centre du carré ABCD.

❌ PiègeChercher un point au hasard sur la perspective.
✅ Test rapideLe centre est l’intersection de AC et BD.

12 erreurs à éviter

Erreur 1

Confondre [AB] et (AB) : le segment est limité, la droite ne l’est pas.

Erreur 2

Confondre une face et son plan : le plan s’étend au-delà du solide.

Erreur 3

Nommer un plan avec trois points alignés : choisis un troisième point hors de la droite.

Erreur 4

Prendre une intersection apparente pour une rencontre : vérifie les appartenances.

Erreur 5

Déclarer parallèles deux droites sans point commun : exclue le cas non coplanaire.

Erreur 6

Oublier que deux droites sécantes sont coplanaires : leur plan est déterminé.

Erreur 7

Inclure une droite dans un plan avec un seul point : il en faut deux distincts.

Erreur 8

Confondre parallèle et strictement parallèle : annonce si l’inclusion est admise.

Erreur 9

Donner un point comme intersection de deux plans sécants : leur intersection est une droite.

Erreur 10

Déduire des plans parallèles d’une seule direction : utilise deux directions sécantes.

Erreur 11

Dessiner une section sans fermer le contour : poursuis sur toutes les faces traversées.

Erreur 12

Mesurer sur la perspective : utilise les données et les propriétés des faces.