À Abidjan, un élève commande la rotation d’une flèche sur un écran. « Tourner de 60° » ne suffit pas : il faut préciser le sens.
🧭 Savoir-faire
Orienter, convertir, placer et calculer avec le cercle trigonométrique.
Les 5 temps d’un exercice
Coche les étapes au fil de ton travail.
- 1ComprendreIdentifie l’ordre des vecteurs, le sens et l’unité.
- 2TraduireConvertis et repère la mesure principale.
- 3ChoisirUtilise le cercle, une symétrie ou une identité adaptée.
- 4CalculerGarde π et les racines pour des valeurs exactes.
- 5ConclureVérifie le quadrant, les signes et l’existence de la tangente.
Si tu vois… pense à…
| Un angle négatif | Tourner dans le sens horaire. |
| Degrés à convertir | Multiplier par π/180. |
| Une mesure hors ]−π ; π] | Ajouter ou retirer des tours complets 2π. |
| Un point M sur le cercle | Lire M(cos α ; sin α). |
| Une tangente | Vérifier cos α ≠ 0. |
| Un angle remarquable associé | Utiliser les symétries du cercle. |
| Une seule coordonnée connue | Employer cos² + sin² = 1 et le quadrant. |
| Une transformation des deux vecteurs | Translation et symétrie centrale conservent ; réflexion inverse. |
Les fiches méthode
🔎 Lire un angle orienté
Démarche
- Identifie les deux vecteurs non nuls et leur ordre.
- Transporte-les à une même origine en conservant leur sens.
- Repère la rotation du premier vers le second.
- Attribue un signe et vérifie le sens sur la figure.
Exemple expliqué
De la droite vers le bas : −90°.
❌ PiègeInverser le départ et l’arrivée.
✅ Test rapideL’angle opposé de +60° admet la mesure −60°.
🔎 Convertir et utiliser un arc
Démarche
- Repère l’unité donnée et l’unité attendue.
- Utilise π rad = 180° pour choisir le facteur.
- Simplifie les fractions avant d’arrondir.
- Pour un arc, utilise ℓ/r avec les mêmes unités de longueur.
Exemple expliqué
75° = 75π/180 = 5π/12 rad.
❌ PiègeConfondre radians et centimètres.
✅ Test rapideUn arc de longueur r correspond à 1 rad.
🔎 Réduire une mesure
Démarche
- Écris l’intervalle ]−π ; π].
- Ajoute ou retire des multiples entiers de 2π.
- Traite la borne −π en la remplaçant par π.
- Vérifie l’intervalle et la différence de mesures.
Exemple expliqué
17π/6 − 2π = 5π/6.
❌ PiègeRetirer seulement π.
✅ Test rapide17π/6 et 5π/6 diffèrent d’un tour.
🔎 Construire un point image
Démarche
- Pars de I sur le cercle unité.
- Réduis éventuellement la mesure.
- Utilise un angle remarquable ou un rapporteur après conversion.
- Vérifie quadrant et orientation.
Exemple expliqué
−2π/3 = −120° : point dans le quadrant III.
❌ PiègeCommencer en J.
✅ Test rapide−π/2 arrive en (0 ; −1).
🔎 Lire cosinus et sinus
Démarche
- Repère le point image sur le cercle.
- Projette sur l’axe horizontal pour le cosinus.
- Projette sur l’axe vertical pour le sinus.
- Contrôle les signes et les valeurs entre −1 et 1.
Exemple expliqué
À π : point (−1 ; 0), donc cos = −1 et sin = 0.
❌ PiègeÉchanger abscisse et ordonnée.
✅ Test rapideÀ π/2, sin = 1 et cos = 0.
🔎 Calculer une tangente exacte
Démarche
- Trouve le cosinus et vérifie qu’il est non nul.
- Écris tan = sin/cos.
- Simplifie les fractions et les racines.
- Vérifie le signe et, à la calculatrice, DEG ou RAD.
Exemple expliqué
tan(π/6) = 1/√3 = √3/3.
❌ PiègeDire que tan(π/2) vaut zéro.
✅ Test rapideUne tangente peut dépasser 1.
🔎 Exploiter une symétrie
Démarche
- Identifie l’axe ou le centre de symétrie.
- Transforme les coordonnées de M selon cette symétrie.
- Lis le cosinus, le sinus puis éventuellement la tangente.
- Pour deux vecteurs, distingue transformation commune et déplacement d’un seul rayon.
Exemple expliqué
À 5π/6 : (−√3/2 ; 1/2).
❌ PiègeChanger le signe du sinus dans une symétrie verticale.
✅ Test rapideUne réflexion des deux vecteurs donne l’angle opposé.
🔎 Retrouver une coordonnée
Démarche
- Écris cos² α + sin² α = 1.
- Isole le carré de la coordonnée inconnue.
- Choisis le signe avec le quadrant.
- Calcule le quotient si la tangente est demandée et vérifie l’identité.
Exemple expliqué
cos = −3/5 dans II : sin = 4/5, tan = −4/3.
❌ PiègeChoisir la racine positive sans lire le quadrant.
✅ Test rapideDeux signes peuvent rester possibles si le quadrant manque.
12 erreurs à éviter
Erreur 1
Oublier l’ordre des vecteurs : lis du premier vers le second.
Erreur 2
Employer le vecteur nul : il n’a pas de direction.
Erreur 3
Confondre sens positif et sens horaire : le positif est antihoraire.
Erreur 4
Confondre degré et radian : π rad vaut 180°.
Erreur 5
Réduire avec π : un tour complet vaut 2π.
Erreur 6
Conserver −π comme mesure principale : choisis π dans ]−π ; π].
Erreur 7
Partir de J sur le cercle : le départ de référence est I.
Erreur 8
Échanger sinus et cosinus : horizontal pour cos, vertical pour sin.
Erreur 9
Refuser un cosinus négatif : le quadrant II ou III le permet.
Erreur 10
Diviser par un cosinus nul : la tangente n’est alors pas définie.
Erreur 11
Oublier le signe d’une racine retrouvée : utilise le quadrant.
Erreur 12
Mélanger transformation des deux vecteurs et déplacement du seul point image : précise ce qui est transformé.
📖 Cours en 8 sections
Constructions, cercle interactif, valeurs exactes et narrations Remy.
1Comprendre le sens d’un angle orienté
Histoire de départ
Comprendre
Dans un plan orienté, on choisit comme sens positif le sens contraire des aiguilles d’une montre (antihoraire). Le sens horaire est négatif. Pour deux vecteurs non nuls u et v, l’angle orienté (u, v) décrit la rotation de la direction de u vers celle de v. On peut transporter les vecteurs à une même origine sans changer leurs directions.
L’ordre compte : (u, v) et (v, u) sont des angles opposés. Deux directions identiques donnent un angle nul ; des directions opposées donnent un angle plat. Un tour complet ramène à la direction initiale : plusieurs mesures peuvent représenter le même angle orienté. On travaille par constructions et lectures de figures, sans calcul formel d’opérations sur les angles.
📌 À retenir
Lis toujours « du premier vecteur vers le second ». Le sens antihoraire est positif ; le sens horaire est négatif.
Exemple corrigé
Si v s’obtient en tournant u de 60° dans le sens antihoraire, une mesure de (u, v) est +60°. En inversant l’ordre, une mesure de (v, u) est −60°. La longueur de u ou v ne change pas cette lecture : seules leurs directions et leur sens interviennent.
Repères visuels
⚠️ Piège
Un angle géométrique non orienté de 60° ne précise pas le sens. Et le vecteur nul n’a pas de direction : il ne définit pas un angle orienté.
✅ Vérifie-toi : Un rayon vers la droite tourne d’un quart de tour horaire pour pointer vers le bas. Donne une mesure en degrés.
Un quart de tour vaut 90°. Le sens est horaire, donc une mesure est −90°.
2Mesurer en radians
Histoire de départ
Sur une roue, un même angle découpe un arc plus long quand le rayon augmente. Le rapport entre la longueur de l’arc et le rayon permet une mesure indépendante de la taille de la roue.
Comprendre
Un angle au centre mesure un radian lorsqu’il intercepte un arc de longueur égale au rayon. Pour un arc de longueur ℓ sur un cercle de rayon r, la valeur positive de la mesure en radians est ℓ/r. Le sens de parcours donne ensuite le signe de la mesure orientée.
Un tour de cercle a pour longueur 2πr : un tour vaut donc 2π radians = 360°, et un demi-tour vaut π radians = 180°. Pour convertir des degrés en radians, multiplie par π/180. Pour passer des radians aux degrés, multiplie par 180/π. Conserve π pour une réponse exacte.
📌 À retenir
Les deux repères de conversion sont π rad = 180° et 2π rad = 360°. Une mesure en radians n’est pas une longueur en centimètres.
Exemple corrigé
120° = 120×π/180 = 2π/3 rad. Inversement, −π/4 rad = (−π/4)×180/π = −45°. Sur un cercle de rayon 3 cm, un arc de 2 cm parcouru dans le sens positif correspond à 2/3 rad.
Repères visuels
| Degrés | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 180 | 360 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radians | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 2π |
⚠️ Piège
Ne multiplie pas par 180/π pour passer des degrés aux radians : ce facteur sert à la conversion inverse.
✅ Vérifie-toi : Convertis 150° en radians, puis π/6 rad en degrés.
150×π/180 = 5π/6 rad. Puis (π/6)×180/π = 30°.
3Trouver la mesure principale
Histoire de départ
Une girouette effectue un tour complet puis encore 60°. Sa direction finale est la même qu’après une rotation de 60° seulement.
Comprendre
Si α est une mesure en radians, toutes les mesures du même angle sont α + 2kπ, où k est un entier. Cela exprime les tours complets et non une opération formelle sur des angles.
On choisit la mesure principale dans l’intervalle ]−π ; π] : −π est exclu, π est inclus. En degrés, l’intervalle correspondant est ]−180° ; 180°]. Pour réduire une mesure, ajoute ou retranche des tours complets jusqu’à entrer dans cet intervalle.
📌 À retenir
Une seule mesure principale par angle. La frontière négative −π est remplacée par π.
Exemple corrigé
Pour 13π/6 : 13π/6 − 2π = 13π/6 − 12π/6 = π/6 ; c’est la mesure principale. Pour −7π/4 : −7π/4 + 2π = π/4. Pour −3π : −3π + 4π = π ; on ne retient pas −π, qui est exclu.
Contrôle toujours deux choses : la réponse appartient à ]−π ; π] et la différence avec la mesure initiale est un multiple entier de 2π.
Repères visuels
| Mesure donnée | Tour(s) retiré(s) ou ajouté(s) | Mesure principale |
|---|---|---|
| 13π/6 | −2π | π/6 |
| −7π/4 | +2π | π/4 |
| −π | +2π | π |
⚠️ Piège
Retrancher π au lieu de 2π change généralement le point image : π est un demi-tour, pas un tour.
✅ Vérifie-toi : Donne la mesure principale de 11π/6.
11π/6 − 12π/6 = −π/6. Cette mesure appartient à ]−π ; π] et la différence est un tour complet.
4Placer un point sur le cercle trigonométrique
Histoire de départ
Au club scientifique de Bouaké, on représente les directions d’un robot par des points sur un cercle de rayon un.
Comprendre
Le cercle trigonométrique a pour centre O, pour rayon 1 et il est orienté dans le sens positif. Dans le repère orthonormé direct (O, I, J), I a pour coordonnées (1 ; 0) et J (0 ; 1).
Le point image de la mesure α s’obtient en partant de I et en parcourant le cercle dans le sens indiqué par le signe. Sur le cercle unité, la longueur d’un arc parcouru est égale à la valeur absolue de la mesure en radians, pour le parcours choisi. Les mesures séparées par 2kπ aboutissent au même point.
Pour construire une direction d’angle donné depuis un vecteur u, place d’abord une direction parallèle à u, convertis en degrés si ton rapporteur l’exige, puis tourne dans le sens indiqué. N’oublie pas que π correspond au point opposé à I.
📌 À retenir
Le point de départ est I, pas J. Réduire à la mesure principale facilite le placement sans changer le point image.
Exemple corrigé
−π/2 rad est un quart de tour horaire : son point image est (0 ; −1). 3π/2 arrive au même point après trois quarts de tour positifs. Pour 2π/3 = 120°, le point se trouve dans le deuxième quadrant : à gauche de l’axe vertical et au-dessus de l’axe horizontal.
Repères visuels
⚠️ Piège
Placer un angle négatif dans le sens positif donne généralement son point symétrique par rapport à l’axe horizontal.
✅ Vérifie-toi : Où se trouve le point image de −π ? Quelle est sa mesure principale ?
Un demi-tour horaire mène au point (−1 ; 0). La mesure principale est π, car −π est exclu de l’intervalle choisi.
5Lire le cosinus et le sinus
Histoire de départ
Aux journées mathématiques, Awa observe un cosinus négatif. Ce n’est pas une erreur : le point image peut être à gauche de l’origine.
Comprendre
Si M est le point image de α sur le cercle trigonométrique, ses coordonnées sont M(cos α ; sin α). Le cosinus est l’abscisse, donc la projection sur l’axe horizontal. Le sinus est l’ordonnée, donc la projection sur l’axe vertical.
Les deux valeurs sont comprises entre −1 et 1. Dans le quadrant I, cos et sin sont positifs ; dans II, cos est négatif et sin positif ; dans III, les deux sont négatifs ; dans IV, cos est positif et sin négatif. Sur les axes, l’une des coordonnées est nulle.
📌 À retenir
Cosinus = coordonnée horizontale ; sinus = coordonnée verticale. Lis le quadrant avant de choisir un signe.
Exemple corrigé
Le point d’angle π/3 a pour coordonnées (1/2 ; √3/2). Donc cos(π/3) = 1/2 et sin(π/3) = √3/2. À π, le point est (−1 ; 0), donc cos π = −1 et sin π = 0. À −π/2, on lit cos = 0 et sin = −1.
Repères visuels
Manipule le cercle
Déplace le curseur : les coordonnées affichées sont arrondies au millième.
⚠️ Piège
Ne confonds pas sinus et cosinus. Une coordonnée négative est normale ; elle exprime une position sur un axe orienté.
✅ Vérifie-toi : Sans calculer de valeur exacte, donne les signes de cos(5π/6) et sin(5π/6).
5π/6 = 150° se situe dans le quadrant II : cos(5π/6) < 0 et sin(5π/6) > 0.
6Valeurs remarquables et tangente
Histoire de départ
Pour construire une direction précise, le club utilise les angles de 30°, 45° et 60°. Certaines valeurs se calculent exactement, sans calculatrice.
Comprendre
Un triangle rectangle isocèle conduit à cos(π/4) = sin(π/4) = √2/2. La moitié d’un triangle équilatéral conduit aux valeurs de π/6 et π/3. La table ci-dessous rassemble ces repères.
Lorsque cos α ≠ 0, la tangente est tan α = sin α / cos α. Elle n’existe pas lorsque le cosinus est nul, c’est-à-dire pour α = π/2 + kπ, k entier. Elle n’est pas limitée à l’intervalle [−1 ; 1].
📌 À retenir
La tangente se calcule seulement après avoir vérifié que le cosinus n’est pas nul. Pour les valeurs remarquables, garde les racines exactes.
Exemple corrigé
tan(π/3) = (√3/2)/(1/2) = √3. Pour π/6 : tan(π/6) = (1/2)/(√3/2) = 1/√3 = √3/3. Pour −π/2, le cosinus est nul : la tangente n’est pas définie ; on ne la remplace pas par zéro.
Repères visuels
| α | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
|---|---|---|---|---|---|
| cos α | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| sin α | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| tan α | 0 | √3/3 | 1 | √3 | Non définie |
⚠️ Piège
En mode calculatrice, DEG correspond aux degrés et RAD aux radians. Taper 60 en mode RAD ne calcule pas l’angle de 60°.
✅ Vérifie-toi : Calcule tan(π/4). La tangente de π/2 existe-t-elle ?
tan(π/4) = (√2/2)/(√2/2) = 1. À π/2, cos = 0, donc la tangente n’existe pas.
7Utiliser les symétries
Histoire de départ
Sur le cercle, on peut déduire les coordonnées d’un point de celles d’un autre en utilisant une symétrie, sans apprendre une nouvelle table.
Comprendre
La symétrie par rapport à l’axe horizontal transforme (cos α ; sin α) en (cos α ; −sin α) : cos(−α) = cos α et sin(−α) = −sin α. Quand elle existe, tan(−α) = −tan α.
La symétrie par rapport à l’axe vertical donne le point de mesure π − α : cos(π − α) = −cos α et sin(π − α) = sin α. Le point diamétralement opposé, de mesure α + π, a ses deux coordonnées opposées. Ces relations se lisent sur les figures ; ce ne sont pas des formules d’addition générales.
Une translation ou une symétrie centrale appliquée aux deux vecteurs conserve leur angle orienté. Une symétrie orthogonale appliquée aux deux vecteurs inverse l’orientation : elle donne l’angle opposé. Ne confonds pas cette transformation des deux vecteurs avec le déplacement du seul point M en gardant I fixe.
📌 À retenir
Une symétrie change certaines coordonnées, pas toutes systématiquement. Pour un angle entre deux vecteurs, précise si la transformation agit sur les deux.
Exemple corrigé
5π/6 = π − π/6 : cos(5π/6) = −√3/2 et sin(5π/6) = 1/2. Leur quotient donne tan(5π/6) = −√3/3. Pour −π/3 : cos = 1/2, sin = −√3/2 et tan = −√3.
Repères visuels
| Point obtenu à partir de M(x ; y) | Coordonnées | Mesure possible |
|---|---|---|
| Symétrie horizontale | (x ; −y) | −α |
| Symétrie verticale | (−x ; y) | π − α |
| Symétrie centrale de centre O | (−x ; −y) | α + π |
⚠️ Piège
La symétrie centrale conserve l’angle orienté entre deux vecteurs transformés ensemble, même si elle renverse chacun des deux vecteurs.
✅ Vérifie-toi : Un angle entre deux vecteurs vaut π/3. Quelle est sa mesure principale après une symétrie orthogonale des deux vecteurs ?
L’orientation est inversée : la mesure devient −π/3. Elle appartient déjà à ]−π ; π].
8Relier les valeurs et contrôler un résultat
Histoire de départ
Un élève connaît le cosinus d’une direction, mais pas son sinus. Le cercle et le quadrant permettent de terminer le calcul.
Comprendre
Sur le cercle unité, OM = 1. Le théorème de Pythagore donne cos² α + sin² α = 1. Ici cos² α signifie (cos α)². Si cos α ≠ 0, on peut aussi écrire 1 + tan² α = 1/cos² α en divisant l’égalité par cos² α.
Pour retrouver une coordonnée, calcule d’abord son carré, puis choisis le signe grâce au quadrant. Une racine carrée donne une valeur positive ou nulle ; le sinus ou le cosinus recherché peut être négatif. Sans information sur le quadrant, deux signes peuvent rester possibles.
📌 À retenir
Avant de conclure : vérifie le domaine de la tangente, le quadrant, cos² + sin² = 1 et le mode de la calculatrice.
Exemple corrigé
Supposons cos α = −3/5 et α dans le quadrant II. Alors sin² α = 1 − 9/25 = 16/25. Le sinus est positif dans II, donc sin α = 4/5. Puis tan α = (4/5)/(−3/5) = −4/3. Contrôle : 9/25 + 16/25 = 1 ; les signes correspondent au quadrant.
Pour construire le point, place M(−0,6 ; 0,8) dans un repère orthonormé : OM² = 0,36 + 0,64 = 1. Le rayon OM représente la direction recherchée. Il n’est pas nécessaire de calculer une valeur décimale de l’angle.
Repères visuels
| Contrôle | Exemple du quadrant II |
|---|---|
| cos² + sin² | 9/25 + 16/25 = 1 |
| Signe de cos | −3/5 < 0 |
| Signe de sin | 4/5 > 0 |
| Tangente définie | cos ≠ 0 ; tan = −4/3 |
⚠️ Piège
À partir de sin² α = 16/25, écrire toujours sin α = 4/5 est faux : le signe dépend du quadrant.
✅ Vérifie-toi : sin α = −5/13 et α est dans le quadrant IV. Calcule cos α et tan α.
cos² α = 1 − 25/169 = 144/169. Dans IV, cos α > 0, donc cos α = 12/13. La tangente vaut (−5/13)/(12/13) = −5/12.
❓ Quiz
3 niveaux × 8 questions, quatre réponses possibles et correction immédiate.
✏️ Exercices
10 exercices progressifs, avec méthode, calculs et vérification.
🎯 Vers le DS
10 sujets différents des exercices d’entraînement : trois situations et sept exercices classiques.
Mode d’emploi : travaille sur ton cahier, demande les indices progressivement, puis consulte la correction et le barème sur 5.