À Bouaké, une classe relève le nombre de livres lus par 20 élèves pendant un mois. Une autre enquête mesure leur temps de trajet. Toutes les données de cette leçon sont fictives et servent à apprendre.
🧭 Savoir-faire
Organiser, représenter et interpréter des données : position et dispersion.
Les 5 temps d’un exercice
Appuie sur les étapes pour suivre ta démarche.
- 1ComprendreIdentifie la population, le caractère et son unité.
- 2TraduireRange les données et construis le tableau des effectifs.
- 3ChoisirSélectionne le cumul, le graphique ou le paramètre adapté.
- 4CalculerPondère correctement et garde les valeurs exactes jusqu’à la fin.
- 5ConclureVérifie les unités et distingue observation exacte et estimation.
Si tu vois… pense à…
| « Au plus » / « au moins » | ECC / ECD, en incluant le seuil. |
| Classes de même amplitude | Centres pour calculer, bornes pour cumuler. |
| Valeurs isolées | Diagramme en bâtons. |
| Durées regroupées | Histogramme à rectangles jointifs. |
| Classe la plus fréquente | Effectif maximal : classe modale. |
| Partage de l’effectif en deux | Médiane et niveau N/2 ou 50 %. |
| Distance moyenne à la moyenne | Écart moyen avec valeurs absolues. |
| Régularité des valeurs | Variance et écart type ; mêmes unités pour comparer. |
Les fiches méthode
Ouvre la fiche utile et coche les étapes accomplies.
🔎 Classer et pondérer
Démarche
- Identifie le caractère et son unité : comptage discret ou mesure continue.
- Range les valeurs ou vérifie les bornes des classes.
- Additionne les effectifs pour trouver N, puis calcule chaque fréquence nᵢ/N.
- Vérifie que les fréquences totalisent 1, soit 100 %.
Exemple expliqué
8 élèves sur 20 représentent 40 %.
❌ PiègeConfondre 0,40 et 0,40 %.
✅ Test rapideUne fréquence ne peut pas dépasser 100 %.
🔎 Construire les cumulés
Démarche
- Trie les valeurs dans l’ordre croissant.
- Pour les ECC, ajoute les effectifs de gauche à droite.
- Pour les ECD, pars de la droite ; conserve l’ordre des colonnes.
- Divise par N pour les fréquences cumulées et relis « au plus » ou « au moins ».
Exemple expliqué
Effectifs 2, 5, 8, 5 : ECC 2, 7, 15, 20 ; ECD 20, 18, 13, 5.
❌ PiègeAdditionner les ECC pour retrouver N.
✅ Test rapideLe dernier ECC et le premier ECD valent 20.
🔎 Tracer un graphique
Démarche
- Choisis bâtons pour des valeurs isolées, histogramme pour des classes continues.
- Inscris les unités et une graduation régulière sur chaque axe.
- Pour les cumulés par classes, utilise les bornes et ajoute les points extrêmes.
- Relie les points cumulés consécutifs et vérifie le sens de variation.
Exemple expliqué
Pour la première classe de 4 élèves : le polygone ECC passe par (0 ; 0) puis (10 ; 4).
❌ PiègeUtiliser les centres pour tracer les cumulés.
✅ Test rapideL’histogramme a des rectangles jointifs, le diagramme discret des bâtons séparés.
🔎 Calculer une moyenne par classes
Démarche
- Détermine le centre de chaque classe : demi-somme des bornes.
- Multiplie chaque centre par son effectif.
- Additionne les produits et divise par N.
- Annonce l’unité et précise qu’il s’agit d’une estimation.
Exemple expliqué
Centres 5, 15, 25, 35 : somme pondérée 380 ; moyenne 19 min.
❌ PiègeDonner le même poids à des classes d’effectifs différents.
✅ Test rapideLa moyenne doit être comprise entre les centres extrêmes.
🔎 Trouver une médiane discrète
Démarche
- Range la série ou dresse ses ECC.
- Calcule le ou les rangs centraux à partir de N.
- Repère les valeurs de ces rangs dans les cumulés.
- Pour N pair, fais la demi-somme des deux valeurs centrales.
Exemple expliqué
Pour N=20, les rangs 10 et 11 valent ici 2 ; médiane 2.
❌ PiègePrendre le milieu des valeurs minimale et maximale.
✅ Test rapideLa médiane se mesure dans l’unité du caractère, pas en rangs.
🔎 Interpoler la médiane
Démarche
- Repère N/2 dans les ECC aux bornes.
- Relève la borne L, l’amplitude h, le cumul précédent C et l’effectif n.
- Calcule M ≈ L + h×(N/2−C)/n.
- Vérifie la classe obtenue et annonce la répartition uniforme supposée.
Exemple expliqué
N=20, L=10, h=10, C=4, n=10 : M≈16.
❌ PiègeUtiliser le cumul après la classe pour C.
✅ Test rapideLa fraction (N/2−C)/n doit être entre 0 et 1.
🔎 Calculer l’écart moyen
Démarche
- Calcule la moyenne en gardant sa valeur exacte.
- Prends la distance de chaque valeur ou centre à cette moyenne.
- Pondère les distances par les effectifs et additionne.
- Divise par N et interprète dans l’unité d’origine.
Exemple expliqué
Pour 2 et 6 : moyenne 4, distances 2 et 2, écart moyen 2.
❌ PiègeOublier les valeurs absolues.
✅ Test rapideSi toutes les valeurs sont égales, l’écart moyen est nul.
🔎 Contrôler variance et écart type
Démarche
- Calcule la moyenne pondérée des carrés.
- Soustrais le carré de la moyenne pour obtenir V.
- Prends la racine carrée pour obtenir σ.
- Vérifie V≥0, les unités et le réglage population de la calculatrice.
Exemple expliqué
V=84 min² donne σ≈9,17 min.
❌ PiègeArrondir trop tôt ou utiliser N−1.
✅ Test rapideRecalcule au besoin la moyenne des carrés des écarts.
12 erreurs à éviter
Erreur 1
Fréquence et effectif : une fréquence est nᵢ/N, pas nᵢ.
Erreur 2
Bornes mal lues : dans [10 ; 20[, 20 appartient à la classe suivante.
Erreur 3
Amplitude et centre confondus : soustrais pour l’une, fais une demi-somme pour l’autre.
Erreur 4
Cumul sans tri : commence par ranger les valeurs.
Erreur 5
« Au moins » remplacé par « plus de » : garde ou enlève la valeur seuil selon l’énoncé.
Erreur 6
Points cumulés aux centres : utilise les bornes des classes.
Erreur 7
Moyenne non pondérée : multiplie chaque valeur par son effectif.
Erreur 8
Classe modale remplacée par un nombre : donne l’intervalle complet.
Erreur 9
Médiane confondue avec N/2 : N/2 sert à repérer, ce n’est pas la réponse.
Erreur 10
Interpolation présentée comme exacte : précise l’hypothèse uniforme dans la classe.
Erreur 11
Écarts signés utilisés pour la dispersion : prends valeurs absolues ou carrés.
Erreur 12
Écart type en unités carrées : seule la variance a une unité au carré.
📖 Cours en 8 sections
Des enquêtes aux conclusions : exemples résolus, graphiques et vérifications.
1Organiser une série statistique
Histoire de départ
Comprendre
La population est l’ensemble étudié ; un individu est un élément de cet ensemble. Le caractère est ce qu’on observe. Un nombre de livres est quantitatif discret ; une durée est quantitative continue. L’effectif nᵢ compte les observations d’une valeur ou d’une classe. L’effectif total N est la somme de tous les effectifs. La fréquence est nᵢ/N.
Pour regrouper des durées, on utilise ici des classes de même amplitude. La classe [10 ; 20[ comprend 10, mais pas 20. Son amplitude est 20 − 10 = 10 ; son centre est (10 + 20)/2 = 15. Les classes doivent couvrir les données sans chevauchement.
📌 À retenir
Une fréquence est une part de l’effectif total. Dans une classe [a ; b[, a est inclus, b est exclu ; amplitude = b − a et centre = (a + b)/2.
Exemple corrigé
Pour les livres : N = 2 + 5 + 8 + 5 = 20. La fréquence de « deux livres » vaut 8/20 = 0,40 = 40 %. Ce sont 40 % des élèves, pas 40 élèves.
Repères visuels
| Livres xᵢ | 0 | 1 | 2 | 3 | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif nᵢ | 2 | 5 | 8 | 5 | 20 |
| Fréquence | 10 % | 25 % | 40 % | 25 % | 100 % |
| Temps (min) | [0 ; 10[ | [10 ; 20[ | [20 ; 30[ | [30 ; 40[ |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 4 | 6 | 8 | 2 |
| Centre (min) | 5 | 15 | 25 | 35 |
⚠️ Piège
Confondre centre et amplitude : pour [10 ; 20[, ils valent respectivement 15 et 10.
✅ Vérifie-toi : Dans [20 ; 30[, 30 appartient-il à la classe ? Quel est son centre ?
Non : 30 est la borne droite exclue. Le centre est (20 + 30)/2 = 25 minutes.
2Effectifs et fréquences cumulés
Histoire de départ
La documentaliste veut savoir combien d’élèves ont lu au plus un livre, et combien en ont lu au moins deux. Le tableau des effectifs simples ne donne pas directement ces réponses.
Comprendre
Après avoir rangé les valeurs dans l’ordre croissant, l’effectif cumulé croissant à xᵢ compte les valeurs ≤ xᵢ : on additionne de gauche à droite. L’effectif cumulé décroissant à xᵢ compte les valeurs ≥ xᵢ : on additionne de droite à gauche. La fréquence cumulée correspondante s’obtient en divisant par N.
Pour des classes [a ; b[, l’ECC placé à la borne supérieure b compte les observations strictement inférieures à b. L’ECD placé à la borne inférieure a compte celles supérieures ou égales à a. Les effectifs cumulés sont des comptages exacts aux bornes ; entre les bornes, une interpolation est une estimation.
📌 À retenir
Trie avant de cumuler. Le dernier ECC et le premier ECD valent N ; les fréquences correspondantes valent 100 %. Au même xᵢ, ECC + ECD = N + nᵢ.
Exemple corrigé
Au plus un livre : 2 + 5 = 7 élèves, soit 7/20 = 35 %. Au moins deux livres : 8 + 5 = 13 élèves, soit 65 %. À la valeur 2, ECC = 15 et ECD = 13 : leur somme vaut 28 car les 8 élèves ayant lu deux livres sont comptés deux fois.
Repères visuels
| xᵢ | nᵢ | ECC (≤ xᵢ) | ECD (≥ xᵢ) | FCC | FCD |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 2 | 2 | 20 | 10 % | 100 % |
| 1 | 5 | 7 | 18 | 35 % | 90 % |
| 2 | 8 | 15 | 13 | 75 % | 65 % |
| 3 | 5 | 20 | 5 | 100 % | 25 % |
⚠️ Piège
« Au plus » inclut la valeur ; « strictement moins » l’exclut. Ne remplace pas l’un par l’autre.
✅ Vérifie-toi : Combien d’élèves ont lu strictement moins de deux livres ?
On compte seulement 0 et 1 livre : 2 + 5 = 7 élèves. L’effectif de 2 livres ne doit pas être ajouté.
3Représenter une série
Histoire de départ
À San Pedro, le club de mathématiques prépare une affiche sur les trajets des élèves. Il choisit une représentation adaptée au type de données.
Comprendre
Dans le cas discret, un diagramme en bâtons place chaque valeur sur l’axe horizontal et son effectif en hauteur. Pour des classes de même amplitude, un histogramme utilise des rectangles jointifs de même largeur ; leurs hauteurs peuvent représenter les effectifs.
Pour le polygone des ECC, place (borne initiale ; 0), puis les effectifs cumulés aux bornes supérieures. Pour les ECD, pars de (borne initiale ; N), puis place les effectifs restants à chaque borne. Relie les points consécutifs par des segments. Cette liaison modélise une répartition uniforme dans chaque classe ; elle ne révèle pas les valeurs individuelles.
📌 À retenir
Bâtons séparés pour des valeurs discrètes ; rectangles jointifs pour des classes continues. Pour les cumulés, utilise les bornes des classes, pas leurs centres.
Exemple corrigé
Pour les trajets, les ECC aux bornes 0, 10, 20, 30, 40 sont 0, 4, 10, 18, 20. Les ECD sont 20, 16, 10, 2, 0. Les deux polygones se coupent ici en (20 ; 10).
Repères visuels
⚠️ Piège
Une courbe cumulative ne doit pas revenir en arrière : ECC non décroissant, ECD non croissant.
✅ Vérifie-toi : Quel point du polygone des ECC correspond à la borne 30 minutes ?
Les trois premières classes contiennent 4 + 6 + 8 = 18 élèves : le point est (30 ; 18).
4Classe modale et moyenne
Histoire de départ
Deux élèves résument les trajets : l’un annonce la classe la plus fréquente ; l’autre calcule un temps moyen. Ils décrivent deux informations différentes.
Comprendre
Le mode d’une série discrète est une valeur d’effectif maximal. Pour des classes de même amplitude, une classe modale est une classe d’effectif maximal. Il peut y avoir plusieurs modes ou classes modales.
La moyenne pondérée est x̄ = (n₁x₁ + n₂x₂ + … + nₚxₚ)/N. Pour une série regroupée, remplace les valeurs inconnues par les centres cᵢ : x̄ ≈ (n₁c₁ + n₂c₂ + … + nₚcₚ)/N. C’est une estimation des données d’origine, calculée exactement pour la série des centres pondérés.
📌 À retenir
La moyenne tient compte de tous les effectifs. Une classe modale est un intervalle, pas son centre. La moyenne a la même unité que le caractère.
Exemple corrigé
Livres : (2×0 + 5×1 + 8×2 + 5×3)/20 = 36/20 = 1,8 livre. Le mode est 2. Trajets : classe modale [20 ; 30[, car son effectif 8 est maximal. Moyenne estimée : (4×5 + 6×15 + 8×25 + 2×35)/20 = 380/20 = 19 minutes.
Repères visuels
| Temps (min) | [0 ; 10[ | [10 ; 20[ | [20 ; 30[ | [30 ; 40[ |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 4 | 6 | 8 | 2 |
| Centre (min) | 5 | 15 | 25 | 35 |
| Classe | nᵢ | cᵢ | nᵢcᵢ |
|---|---|---|---|
| [0 ; 10[ | 4 | 5 | 20 |
| [10 ; 20[ | 6 | 15 | 90 |
| [20 ; 30[ | 8 | 25 | 200 |
| [30 ; 40[ | 2 | 35 | 70 |
⚠️ Piège
Faire (5 + 15 + 25 + 35)/4 ignore les effectifs différents et donne ici une mauvaise moyenne.
✅ Vérifie-toi : La moyenne de 1,8 livre signifie-t-elle qu’un élève a forcément lu 1,8 livre ?
Non. Une moyenne résume l’ensemble ; elle n’est pas nécessairement une valeur observée. Chaque nombre de livres observé reste entier.
5Comprendre et lire la médiane
Histoire de départ
Awa veut connaître un temps de trajet qui partage les élèves en deux groupes. Cette question conduit à la médiane, et non à la moyenne.
Comprendre
Une médiane est une valeur telle qu’au moins la moitié des observations lui sont inférieures ou égales et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales. Pour une liste ordonnée de taille impaire, prends la valeur centrale. Pour une taille paire, on adopte la convention de la demi-somme des deux valeurs centrales.
Pour des données regroupées continues, la médiane est généralement estimée. Sur le polygone des ECC, pars du niveau N/2, rejoins le polygone horizontalement, puis descends sur l’axe des valeurs. Avec les fréquences cumulées, utilise 50 %. La lecture dépend de la précision du graphique.
📌 À retenir
Le niveau N/2 est un effectif ; la médiane se lit sur l’axe du caractère. Pour les classes, ne présente pas une estimation comme une valeur individuelle connue.
Exemple corrigé
Livres : N = 20 ; on cherche les valeurs de rangs 10 et 11. L’ECC vaut 7 à 1 livre puis 15 à 2 livres : les rangs 8 à 15 valent tous 2. La médiane est donc (2 + 2)/2 = 2 livres. Pour les trajets : N/2 = 10 ; le polygone atteint ce niveau à 20 minutes. La médiane estimée est 20 minutes.
Repères visuels
⚠️ Piège
La médiane n’est ni N/2 ni automatiquement la moyenne : ici les trajets ont moyenne estimée 19 min et médiane estimée 20 min.
✅ Vérifie-toi : Dans la liste ordonnée 4 ; 6 ; 6 ; 9 ; 15, quelle est la médiane ?
Il y a 5 valeurs. Le rang central est (5 + 1)/2 = 3 ; la troisième valeur est 6. La médiane vaut donc 6.
6Calculer la médiane par interpolation
Histoire de départ
Une autre enquête porte sur 20 élèves : 4 trajets dans [0 ; 10[, 10 dans [10 ; 20[, 6 dans [20 ; 30[. Le niveau médian se trouve à l’intérieur d’une classe.
Comprendre
On suppose une répartition uniforme à l’intérieur de la classe médiane. Sur le segment cumulatif, l’effectif augmente proportionnellement à la distance parcourue dans la classe.
Si L est la borne inférieure, h l’amplitude, C l’effectif cumulé avant la classe et n son effectif, alors M ≈ L + h × (N/2 − C)/n. Cette formule vient de (M − L)/h = (N/2 − C)/n. Elle s’applique à une classe d’effectif non nul qui contient le niveau N/2.
📌 À retenir
Repère la classe avec les cumulés, puis calcule la fraction de sa largeur nécessaire pour atteindre N/2. Annonce l’hypothèse d’interpolation.
Exemple corrigé
N/2 = 10. Avant [10 ; 20[, C = 4 ; après, l’ECC vaut 14 : c’est la classe médiane. Il manque 10 − 4 = 6 élèves sur les 10 de cette classe. On avance donc de 6/10 de sa largeur : M ≈ 10 + 10×6/10 = 16 minutes.
Vérification par l’équation du segment : entre (10 ; 4) et (20 ; 14), l’effectif cumulé y vaut 4 + (14 − 4)×(x − 10)/(20 − 10), soit y = x − 6. Pour y = 10, x = 16. La réponse appartient bien à [10 ; 20[.
Repères visuels
| Borne (min) | 0 | 10 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|---|
| ECC | 0 | 4 | 14 | 20 |
| Repère médian | 4 < 10 | 14 > 10 |
⚠️ Piège
Utiliser l’ECC après la classe à la place de C conduit à une erreur : C est le cumul avant la classe.
✅ Vérifie-toi : Avec L = 20, h = 10, C = 8, n = 8 et N = 24, estime la médiane.
N/2 = 12. Le niveau est entre 8 et 16. M ≈ 20 + 10×(12 − 8)/8 = 20 + 5 = 25. Elle est bien dans [20 ; 30[.
7Mesurer l’écart moyen
Histoire de départ
Deux groupes peuvent avoir la même moyenne et des résultats très différents. L’écart moyen mesure la distance moyenne des valeurs à leur moyenne.
Comprendre
Calcule d’abord la moyenne x̄, puis les distances |xᵢ − x̄|. L’écart moyen est e = (n₁|x₁ − x̄| + … + nₚ|xₚ − x̄|)/N. On utilise les valeurs absolues pour que les écarts négatifs et positifs ne s’annulent pas.
Pour des classes, utilise les centres : l’écart moyen obtenu estime la dispersion des données d’origine. Il est positif ou nul, et possède la même unité que le caractère. Plus il est petit, plus les valeurs sont proches de la moyenne en moyenne.
📌 À retenir
L’écart moyen est une moyenne de distances : calcule les valeurs absolues, pondère, puis divise par l’effectif total.
Exemple corrigé
Pour les livres, x̄ = 1,8. Les distances à la moyenne sont 1,8 ; 0,8 ; 0,2 ; 1,2. Leur somme pondérée vaut 2×1,8 + 5×0,8 + 8×0,2 + 5×1,2 = 15,2. Donc e = 15,2/20 = 0,76 livre.
Pour les trajets, x̄ ≈ 19. Les distances des centres sont 14 ; 4 ; 6 ; 16. Leur somme pondérée est 4×14 + 6×4 + 8×6 + 2×16 = 160. L’écart moyen estimé est 160/20 = 8 minutes.
Repères visuels
| Centre cᵢ (min) | nᵢ | |cᵢ − 19| | nᵢ|cᵢ − 19| |
|---|---|---|---|
| 5 | 4 | 14 | 56 |
| 15 | 6 | 4 | 24 |
| 25 | 8 | 6 | 48 |
| 35 | 2 | 16 | 32 |
⚠️ Piège
Faire la moyenne des écarts signés donne zéro et ne mesure pas la dispersion. Diviser par le nombre de classes oublie les effectifs.
✅ Vérifie-toi : Pour les valeurs 2 et 6, chacune d’effectif 1, calcule l’écart moyen.
La moyenne est (2 + 6)/2 = 4. Les distances sont |2 − 4| = 2 et |6 − 4| = 2. L’écart moyen vaut (2 + 2)/2 = 2.
8Variance, écart type et interprétation
Histoire de départ
Le club compare la régularité des temps de trajet. La variance et l’écart type donnent deux mesures liées de leur dispersion autour de la moyenne.
Comprendre
La variance est la moyenne des carrés des écarts : V = [n₁(x₁ − x̄)² + … + nₚ(xₚ − x̄)²]/N. On peut aussi calculer V = (n₁x₁² + … + nₚxₚ²)/N − x̄². L’écart type est σ = √V.
La variance a l’unité du caractère au carré ; l’écart type retrouve l’unité d’origine. Pour des classes, les calculs sur les centres donnent des estimations. Garde les valeurs exactes à la calculatrice et arrondis seulement le résultat final. En mode statistique, utilise l’écart type de population (division par N), pas celui qui divise par N − 1.
📌 À retenir
Une variance ne peut pas être négative. Pour un même caractère et une même unité, un plus petit écart type indique une dispersion plus faible autour de la moyenne.
Exemple corrigé
Trajets : somme pondérée des carrés des centres = 4×25 + 6×225 + 8×625 + 2×1225 = 8900. Donc V ≈ 8900/20 − 19² = 445 − 361 = 84 min² ; σ ≈ √84 ≈ 9,17 min.
Contrôle par les écarts : [4×196 + 6×16 + 8×36 + 2×256]/20 = 1680/20 = 84. Deux méthodes donnent le même résultat. Un écart type n’est pas une distance maximale et ne prouve pas que tous les trajets sont entre x̄ − σ et x̄ + σ.
Repères visuels
| Groupe | Valeurs (mêmes effectifs) | Moyenne | Écart type |
|---|---|---|---|
| A | 8 ; 10 ; 12 | 10 | √(8/3) ≈ 1,63 |
| B | 0 ; 10 ; 20 | 10 | √(200/3) ≈ 8,16 |
⚠️ Piège
Confondre variance et écart type, ou calculer (moyenne des valeurs)² à la place de la moyenne des carrés.
✅ Vérifie-toi : Une série de durées a une variance de 9 min². Quel est son écart type ?
σ = √9 = 3 minutes. L’unité est la minute, pas la minute carrée.
❓ Quiz
3 niveaux × 8 questions, quatre réponses possibles et correction immédiate.
✏️ Exercices
10 exercices progressifs, avec méthode, calculs et vérification.
🎯 Vers le DS
10 sujets différents des exercices d’entraînement : trois situations et sept exercices classiques.
Mode d’emploi : travaille sur ton cahier, demande les indices progressivement, puis consulte la correction et le barème sur 5.