Au lycée de Yopougon, Awa compare les tarifs de deux services. Une formule n’a de sens que pour certaines valeurs de x : c’est son ensemble de définition.
🧭 Savoir-faire
Choisir le domaine, reconnaître une fonction usuelle, lire ses variations et vérifier ses résultats.
Les 5 temps d’un exercice
Appuie sur chaque étape pour la cocher.
- 1ComprendreIdentifie la fonction, les valeurs demandées et les contraintes.
- 2TraduireÉcris les expressions et les intervalles utiles.
- 3ChoisirRepère le domaine, la courbe ou le tableau de variations adapté.
- 4CalculerRemplace x par les valeurs autorisées, en respectant les signes.
- 5ConclureVérifie le domaine et formule une réponse précise.
Si tu vois… pense à…
| Racine carrée | Imposer le radicande ≥ 0. |
| Fraction | Exclure les zéros du dénominateur. |
| Deux formules selon x | Choisir la branche de l’intervalle. |
| Valeur absolue | Étudier le signe de l’expression intérieure. |
| Partie entière | Chercher n≤x<n+1. |
| Carré | Parabole ; minimum ou maximum selon a. |
| Cube | Fonction croissante sur ℝ. |
| Inverse | Exclure zéro et étudier chaque intervalle séparément. |
Les fiches méthode
Ouvre la fiche utile à ton exercice.
🔎 Fonctions et domaines
Démarche
- Repère chaque opération qui peut être interdite : racine carrée ou division.
- Traduis les contraintes : radicande ≥ 0 et dénominateur ≠ 0.
- Résous les contraintes séparément puis prends leur intersection.
- Teste un nombre admis et chaque borne exclue avant d'écrire Df.
Exemple expliqué
f(x)=1/(x−3) : x=3 est interdit. g(x)=√(x+2) : x≥−2.
❌ PiègeNe confonds pas image et antécédent : f(2) est une image ; résoudre f(x)=2 cherche des antécédents.
✅ Test rapidePour h(x)=√(x−1)/(x−4), on exige x≥1 et x≠4 : le nombre 4 reste interdit même si la racine existe.
🔎 Fonctions affines par intervalles
Démarche
- Localise toutes les frontières entre les formules (par exemple x=0).
- Lis les symboles <, ≤, > ou ≥ pour déterminer la bonne branche.
- Calcule f(x) avec cette seule branche et trace-la sur son intervalle.
- À la frontière, compare les valeurs des deux expressions ; indique point plein et point vide.
Exemple expliqué
f(−2)=−3 et f(2)=1. En zéro, f(0)=−1 : le point (0;−1) est plein, celui (0;1) est exclu.
❌ PiègeNe trace pas les deux droites sur tout ℝ. Chaque formule ne vaut que sur son intervalle.
✅ Test rapideSi x=0 appartient à « x≥0 », on utilise obligatoirement la deuxième formule, même si la première donnerait un autre résultat.
🔎 Valeur absolue |ax+b|
Démarche
- Pose u=ax+b et résous u=0 pour repérer le sommet du V.
- Dresse le signe de u à gauche et à droite de cette valeur.
- Remplace |u| par −u quand u<0 et par u quand u≥0.
- Résous chaque équation sur son intervalle puis vérifie toutes les solutions dans l’expression initiale.
Exemple expliqué
|2x−4| vaut 4−2x pour x≤2 et 2x−4 pour x≥2. Son minimum est 0 atteint en x=2.
❌ PiègeÉcrire |−3|=−3 est faux : |−3|=3.
✅ Test rapidePour |2x−4|=6, les cas 2x−4=6 et 2x−4=−6 donnent x=5 et x=−1 : tous deux se vérifient.
🔎 Partie entière E(x)
Démarche
- Encadre le nombre entre deux entiers consécutifs n et n+1.
- Choisis n tel que n≤x<n+1 : ce n'est pas un arrondi.
- Si E(x)=k, traduis directement par k≤x<k+1.
- Sur le graphique, ferme le début du palier et ouvre son extrémité droite.
Exemple expliqué
E(2,7)=2 ; E(−1,2)=−2 ; E(3)=3.
❌ PiègePour un nombre négatif, la partie entière n’est pas une simple suppression des décimales : E(−1,2)=−2.
✅ Test rapide−3≤−2,4<−2, donc E(−2,4)=−3 ; écrire −2 serait confondre partie entière et troncature.
🔎 Fonction carré x² et ax²
Démarche
- Pour ax², commence par le signe de a ; pour a=0, la fonction est constante.
- Si a>0 : décroissance jusqu’à zéro puis croissance ; si a<0 : l’inverse.
- Place le sommet (0 ; 0), puis calcule deux images opposées f(t)=f(−t).
- Pour résoudre ax²=k avec a≠0, vérifie d’abord que k/a≥0.
Exemple expliqué
Pour f(x)=−2x², f(−2)=−8 et f(1)=−2. Le maximum est 0 en x=0.
❌ PiègeLa fonction carré n’est pas croissante sur tout ℝ : (−3)²=9 > (−2)²=4.
✅ Test rapidePour −2x²=−8, on obtient x²=4, donc deux solutions : −2 et 2. La parabole est tournée vers le bas.
🔎 Fonction cube x³
Démarche
- Identifie une puissance impaire : les valeurs négatives gardent un signe négatif.
- Pour comparer des nombres, utilise la croissance stricte de x³ sur tout ℝ.
- Pour x³=k, cherche l’unique réel dont le cube vaut k.
- Sur la courbe, utilise le point O et la symétrie centrale : (−t ; −t³) accompagne (t ; t³).
Exemple expliqué
(−2)³=−8, 0³=0 et 3³=27. Puisque −2<3, on a −8<27.
❌ PiègeNe confonds pas (−2)³=−8 et (−2)²=4.
✅ Test rapideComme −3<−2, on sait sans dessin que −27<−8. La fonction cube conserve l’ordre.
🔎 Fonction racine carrée √x
Démarche
- Commence par imposer que le nombre sous la racine soit positif ou nul.
- Calcule une image en reconnaissant un carré parfait si possible.
- Pour √u=k, vérifie k≥0 puis résous u=k².
- Contrôle que chaque solution obtenue satisfait le domaine et l’équation d’origine.
Exemple expliqué
√0=0, √9=3 et √(x−4) existe seulement si x≥4.
❌ Piège√(a+b) n’est généralement pas égal à √a+√b. Par exemple, √(9+16)=5, pas 7.
✅ Test rapide√(x−4)=3 implique x≥4 puis x−4=9, donc x=13. En revanche √(x−4)=−3 est impossible.
🔎 Fonction inverse 1/x et a/x
Démarche
- Élimine x=0 avant toute transformation algébrique.
- Détermine le signe du quotient à gauche et à droite de zéro.
- Pour a/x, si a>0 la fonction décroît sur chaque intervalle ; si a<0 elle croît.
- Résous a/x=k avec x≠0, puis vérifie la valeur dans la fraction initiale.
Exemple expliqué
f(x)=6/x : f(2)=3 et f(−3)=−2. g(x)=−6/x : g(2)=−3 et g(3)=−2, donc g croît sur ]0;+∞[.
❌ PiègeNe dis pas que 1/x décroît sur tout ℝ privé de zéro : ce domaine est séparé en deux intervalles.
✅ Test rapidePour f(x)=−12/x, on a f(−3)=4>0 et f(3)=−4<0 ; on ne relie jamais les branches à x=0.
12 erreurs à éviter
Erreur 1
Diviser par zéro : toujours exclure la valeur interdite.
Erreur 2
Oublier x≥0 dans √x.
Erreur 3
Confondre image et antécédent.
Erreur 4
Utiliser la mauvaise branche d’une fonction par intervalles.
Erreur 5
Dessiner une branche hors de son intervalle.
Erreur 6
Écrire |−a| négatif.
Erreur 7
Tronquer E(x) vers zéro pour x négatif.
Erreur 8
Dire que x² croît sur tout ℝ.
Erreur 9
Oublier que x³ conserve le signe de x.
Erreur 10
Écrire √(a+b)=√a+√b.
Erreur 11
Dire que 1/x décroît sur tout ℝ privé de zéro.
Erreur 12
Oublier les unités et la vérification dans un problème.
📖 Cours en 8 sections
Définitions, situations ivoiriennes, graphiques, exemples et vérifications interactives.
1Fonctions et domaines
Histoire de départ
Comprendre
Une fonction associe à chaque nombre x de son domaine une unique image f(x). Le domaine Df rassemble toutes les valeurs autorisées. Pour une fraction, le dénominateur ne doit pas être nul ; pour une racine carrée, le radicande doit être positif ou nul.
📌 À retenirRègle de décision : √A(x) impose A(x)≥0 ; A(x)/B(x) impose B(x)≠0. Si les deux apparaissent, combine les conditions.
Exemple corrigé
f(x)=1/(x−3) : x=3 est interdit. g(x)=√(x+2) : x≥−2.
⚠️ PiègeNe confonds pas image et antécédent : f(2) est une image ; résoudre f(x)=2 cherche des antécédents.
✅ Vérifie-toi : Détermine le domaine de h(x)=√(x−5).
x≥5, donc Dh=[5;+∞[.
2Fonctions affines par intervalles
Histoire de départ
Un taxi à Abidjan applique deux tarifs selon la distance. Une seule fonction peut ainsi utiliser deux expressions selon l’intervalle.
Comprendre
Pour f(x)=2x+1 si x<0 et f(x)=x−1 si x≥0, calcule chaque image avec la branche correspondant à x. Une droite de coefficient directeur positif est croissante. Aux frontières, vérifie si le point est inclus.
📌 À retenirÀ une frontière x=c : la branche avec ≤ ou ≥ donne f(c). Sur le tracé : ● valeur incluse, ○ valeur exclue.
Exemple corrigé
f(−2)=−3 et f(2)=1. En zéro, f(0)=−1 : le point (0;−1) est plein, celui (0;1) est exclu.
Représentation graphique
Tableau de variations (lecture)
| Fonction | Variations |
|---|---|
| Fonctions affines par intervalles | Sur x<0 : coefficient 2, donc croissante. Sur x≥0 : coefficient 1, donc croissante. Attention au raccord en zéro. |
⚠️ PiègeNe trace pas les deux droites sur tout ℝ. Chaque formule ne vaut que sur son intervalle.
✅ Vérifie-toi : Pour la fonction de l’exemple, calcule f(−1) et f(0).
f(−1)=−1 et f(0)=−1.
3Valeur absolue |ax+b|
Histoire de départ
Une distance ne peut pas être négative. La valeur absolue mesure la distance à zéro sur la droite graduée.
Comprendre
|u|=u si u≥0 et |u|=−u si u<0. Pour |ax+b|, cherche d’abord la valeur qui annule ax+b, puis étudie le signe de chaque côté. La courbe est composée de deux demi-droites formant un V.
📌 À retenirForme utile : |u|=u si u≥0, sinon |u|=−u. Le minimum de |ax+b| vaut 0 lorsque ax+b=0 (a≠0).
Exemple corrigé
|2x−4| vaut 4−2x pour x≤2 et 2x−4 pour x≥2. Son minimum est 0 atteint en x=2.
Représentation graphique
Tableau de variations (lecture)
| Fonction | Variations |
|---|---|
| Valeur absolue |ax+b| | Décroissante sur ]−∞;2], minimum 0 en x=2, puis croissante sur [2;+∞[. |
⚠️ PiègeÉcrire |−3|=−3 est faux : |−3|=3.
✅ Vérifie-toi : Résous |x−3|=2.
x−3=2 ou x−3=−2, donc x=5 ou x=1.
4Partie entière E(x)
Histoire de départ
Au marché, on remplit des cartons de dix mangues. Le nombre de cartons complets dépend de la partie entière du quotient.
Comprendre
E(x) est l’unique entier n tel que n≤x<n+1. La fonction est constante sur chaque intervalle [n;n+1[. Son graphique est un escalier : fermé à gauche et ouvert à droite.
📌 À retenirFormule-clé : E(x)=n ⇔ n≤x<n+1, avec n entier. Attention : E(−1,2)=−2.
Exemple corrigé
E(2,7)=2 ; E(−1,2)=−2 ; E(3)=3.
Représentation graphique
⚠️ PiègePour un nombre négatif, la partie entière n’est pas une simple suppression des décimales : E(−1,2)=−2.
✅ Vérifie-toi : Détermine E(−2,1) et E(4,99).
E(−2,1)=−3 et E(4,99)=4.
5Fonction carré x² et ax²
Histoire de départ
La surface d’un carré de côté x est x². Pour des côtés positifs, plus x grandit, plus l’aire augmente.
Comprendre
La fonction x↦x² est définie sur ℝ ; elle décroît sur ]−∞;0] et croît sur [0;+∞[. Son minimum vaut 0. Sa courbe est une parabole. Pour ax², si a>0, elle s’ouvre vers le haut ; si a<0, vers le bas.
📌 À retenirVariations de ax² : a>0 → minimum 0 ; a<0 → maximum 0 ; a=0 → fonction constante. Symétrie : f(−x)=f(x).
Exemple corrigé
Pour f(x)=−2x², f(−2)=−8 et f(1)=−2. Le maximum est 0 en x=0.
Représentation graphique
Tableau de variations (lecture)
| Fonction | Variations |
|---|---|
| Fonction carré x² et ax² | x² : décroissante jusqu’à 0, minimum 0, puis croissante. Pour a<0, le sens s’inverse. |
⚠️ PiègeLa fonction carré n’est pas croissante sur tout ℝ : (−3)²=9 > (−2)²=4.
✅ Vérifie-toi : Compare (−4)² et (−2)².
16>4 ; sur les négatifs, la fonction carré décroît quand x augmente.
6Fonction cube x³
Histoire de départ
Le volume d’un cube de côté x est x³ pour x positif. En mathématiques, x³ est aussi défini pour les nombres négatifs.
Comprendre
La fonction x↦x³ est définie sur ℝ et strictement croissante sur tout ℝ. Elle est impaire : (−x)³=−x³. Sa courbe passe par l’origine et est symétrique par rapport à cette origine.
📌 À retenirDeux repères : x³ est strictement croissante sur ℝ ; (−x)³=−x³. Une équation x³=k a une seule solution réelle.
Exemple corrigé
(−2)³=−8, 0³=0 et 3³=27. Puisque −2<3, on a −8<27.
Représentation graphique
Tableau de variations (lecture)
| Fonction | Variations |
|---|---|
| Fonction cube x³ | x³ : strictement croissante de −∞ à +∞. |
⚠️ PiègeNe confonds pas (−2)³=−8 et (−2)²=4.
✅ Vérifie-toi : Compare (−1,5)³ et (−1)³ sans calculatrice.
−1,5<−1 et la fonction cube est croissante, donc (−1,5)³<(−1)³.
7Fonction racine carrée √x
Histoire de départ
Pour construire un carré d’aire 25 mètres carrés, on cherche la longueur positive de son côté : cinq mètres.
Comprendre
La fonction x↦√x est définie sur [0;+∞[ et croissante sur cet intervalle. Sa valeur est toujours positive ou nulle. Pour √(ax+b), on impose ax+b≥0.
📌 À retenirContrôle immédiat : √u≥0. Donc √u=k exige k≥0 et u=k², avec u≥0 à vérifier.
Exemple corrigé
√0=0, √9=3 et √(x−4) existe seulement si x≥4.
Représentation graphique
Tableau de variations (lecture)
| Fonction | Variations |
|---|---|
| Fonction racine carrée √x | √x : croissante de 0 vers +∞, définie uniquement pour x≥0. |
⚠️ Piège√(a+b) n’est généralement pas égal à √a+√b. Par exemple, √(9+16)=5, pas 7.
✅ Vérifie-toi : Résous √x=4.
On élève au carré : x=16, qui est bien dans le domaine.
8Fonction inverse 1/x et a/x
Histoire de départ
Un commerçant partage une somme fixe entre x personnes. Plus le nombre de personnes augmente, plus la part individuelle diminue.
Comprendre
La fonction x↦1/x est définie sur ℝ privé de zéro. Elle est strictement décroissante sur ]−∞;0[ et sur ]0;+∞[ séparément. Sa courbe est une hyperbole à deux branches. Pour a/x, le signe de a modifie les signes et les variations : si a<0, la fonction est croissante sur chacun des deux intervalles.
📌 À retenirDeux intervalles séparés : x≠0. Pour a/x, a>0 → décroissante de chaque côté ; a<0 → croissante de chaque côté.
Exemple corrigé
f(x)=6/x : f(2)=3 et f(−3)=−2. g(x)=−6/x : g(2)=−3 et g(3)=−2, donc g croît sur ]0;+∞[.
Représentation graphique
Tableau de variations (lecture)
| Fonction | Variations |
|---|---|
| Fonction inverse 1/x et a/x | 1/x : décroissante sur ]−∞;0[ et sur ]0;+∞[ ; zéro est interdit. |
⚠️ PiègeNe dis pas que 1/x décroît sur tout ℝ privé de zéro : ce domaine est séparé en deux intervalles.
✅ Vérifie-toi : Résous 3/x=−1.
x≠0 ; en multipliant par x, 3=−x, donc x=−3.
❓ Quiz
3 niveaux × 8 questions, quatre réponses possibles et correction immédiate.
✏️ Exercices
10 exercices progressifs, avec méthode, calculs et vérification.
🎯 Vers le DS
10 sujets différents des exercices d’entraînement : trois situations et sept exercices classiques.
Mode d’emploi : travaille sur ton cahier, demande les indices progressivement, puis consulte la correction et le barème sur 5.