Généralités sur les fonctions

Objectifs de la leçon

1. Identifier une fonction et son domaine.
2. Calculer une image ou un antécédent.
3. Lire sur une courbe les images et antécédents.
4. Déterminer les images directes et réciproques d’intervalles.
5. Comparer deux fonctions sur un intervalle.
6. Reconnaître les variations et les valeurs extrêmes.

Méthode de lecture graphique

Image : partir de l’abscisse x, monter jusqu’à la courbe, puis lire l’ordonnée.

Antécédent : partir de l’ordonnée y, rejoindre la courbe horizontalement, puis lire chaque abscisse d’intersection.

Variations : lire la courbe de gauche à droite.

Extrêmes : chercher les valeurs les plus hautes et les plus basses effectivement atteintes sur l’intervalle étudié.

1Définition et représentations

Exemple : f(x) = 2x + 3. Ainsi, f(2) = 7 et f(4) = 11.

Une fonction peut être déterminée par une formule, un tableau de valeurs, une courbe ou une description. Un tableau de variations renseigne sur son évolution.

À retenir : un nombre de départ possède une seule image, mais plusieurs nombres peuvent avoir la même image.

2Domaine, image et antécédents

Le domaine de définition Df est l’ensemble des nombres pour lesquels f est définie.

Exemple : f(x)=2x+3 est définie sur ℝ. En revanche, g(x)=1/(x−2) est définie pour tous les réels sauf 2.

Une image se calcule en remplaçant x : f(5)=13.

Un antécédent de 13 vérifie f(x)=13 : 2x+3=13, donc x=5.

Sur une courbe, l’image se lit verticalement à partir d’une abscisse ; les antécédents se lisent horizontalement à partir d’une ordonnée. Un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

3Intervalles et graphiques

L’image directe f(I) d’un intervalle I regroupe toutes les valeurs f(x) lorsque x parcourt I.

Pour f(x)=2x, l’image directe de [1 ; 3] est [2 ; 6].

L’image réciproque f⁻¹(J) regroupe les x du domaine tels que f(x) appartienne à J. Pour cette même fonction, l’image réciproque de [2 ; 6] est [1 ; 3].

La représentation graphique d’une fonction est l’ensemble des points (x ; f(x)). Une verticale ne peut rencontrer la courbe d’une fonction qu’en un seul point au plus.

Deux fonctions coïncident sur un intervalle lorsqu’elles y sont toutes deux définies et ont la même image pour chaque x de cet intervalle.

Exemple : f(x)=2x+1 et g(x)=x+x+1 coïncident sur ℝ.

4Variations et extrêmes

Une fonction est croissante sur un intervalle si x₁ ≤ x₂ entraîne f(x₁) ≤ f(x₂). Elle est décroissante si x₁ ≤ x₂ entraîne f(x₁) ≥ f(x₂). Elle est constante si ses images restent identiques.

Sur une courbe lue de gauche à droite : elle monte, descend ou reste horizontale.

Le maximum sur un intervalle est la plus grande valeur effectivement atteinte par la fonction ; le minimum est la plus petite valeur atteinte.

Pour f(x)=4−x² sur ℝ, on a f(x) ≤ 4 car x² ≥ 0 ; f(0)=4 : le maximum est donc 4, atteint en 0.

Pour g(x)=x² sur [0 ; 2], le minimum est 0 et le maximum est 4.

Attention : une fonction n’a pas nécessairement de maximum ou de minimum sur un intervalle.

Images et antécédents

Pour f(x)=3x−2, calculer f(4) et trouver l’antécédent de 10.

Domaine de définition

Déterminer le domaine de g(x)=1/(x+3).

Image d’un intervalle

Pour f(x)=2x+1, déterminer l’image directe de [0 ; 2].

Image réciproque

Pour f(x)=2x, trouver les x tels que f(x)∈[4 ; 10].

Maximum et minimum

Sur [−2 ; 2], étudier les extrêmes de f(x)=x².

Situation d’évaluation

Une petite entreprise modélise un coût par la fonction C(x)=2x+3, pour x compris entre 0 et 10.

1. Calculer C(0), C(4) et C(10).
2. Trouver l’antécédent de 13.
3. Déterminer l’image directe de [2 ; 6].
4. Déterminer le sens de variation de C.
5. Donner le minimum et le maximum de C sur [0 ; 10].