Leçon 9 : Produit scalaire

🧭 Savoir-faire

Comment calculer un produit scalaire, trouver un angle ou une équation de droite ou de cercle, utiliser Al-Kashi, et éviter les erreurs qui coûtent des points.

Les 5 temps d'un exercice

Coche chaque temps en appuyant dessus.

1ComprendreLis l'énoncé. Que doit-on calculer : un travail, un angle, une longueur, une équation ?
2TraduireFais un dessin à main levée. Note les vecteurs, les angles et les longueurs connus.
3Choisir l'outilDéfinition avec cos, projeté, coordonnées ou Al-Kashi.
4CalculerLe produit scalaire, avec son signe, puis les normes ou l'angle.
5ConclureUne phrase qui répond à la question, avec les unités. Interprète le signe : angle aigu, droit ou obtus ?

Si tu vois… pense à…

« travail d'une force »	F × d × cos α : produit scalaire.
« angle entre deux vecteurs »	cos α = u·v / (‖⁠u⁠‖ ‖⁠v⁠‖).
« perpendiculaire », « orthogonal »	Produit scalaire égal à 0.
« projeté orthogonal »	AB × AH avec le bon signe.
« cercle de diamètre [AB] »	MA·MB = 0.
« trois côtés connus »	Al-Kashi pour l'angle.
« deux côtés et l'angle entre eux »	Al-Kashi pour le troisième côté.
« vecteur normal »	Équation a(x − xA) + b(y − yA) = 0.
« médiane »	Formule rappelée dans l'énoncé.
« dis qui a raison »	Teste avec un calcul, puis conclus par une phrase.

Les fiches méthode

Ouvre la fiche qui correspond à ton exercice.

🔎 Produit scalaire par la définition

Démarche

Repère les normes ‖⁠u⁠‖ et ‖⁠v⁠‖ et l'angle entre les deux.
Calcule ‖⁠u⁠‖ × ‖⁠v⁠‖ × cos α.
Contrôle le signe : aigu → positif, obtus → négatif.

Exemple corrigé : ‖⁠u⁠‖ = 2, ‖⁠v⁠‖ = 5, angle 120°

2 × 5 × cos 120° = 10 × (−0,5) = −5.

❌ Ce que beaucoup fontOublier le signe du cosinus.

✅ À fairecos 120° = −0,5 : le résultat est négatif.

📐 Produit scalaire avec le projeté

Démarche

Projette un point sur la droite : H, projeté de C sur (AB).
Calcule AB × AH.
Mets le signe : + si H est du même côté que B, − sinon.

Exemple corrigé : AB = 5, AH = 2, même côté

AB·AC = 10.

🔢 Produit scalaire avec les coordonnées

Démarche

Repère orthonormé obligatoire.
xx' + yy'.
Norme : √(x² + y²).

Exemple corrigé : u(2 ; 3), v(4 ; −1)

2 × 4 + 3 × (−1) = 5.

📏 Angle entre deux vecteurs

Démarche

Calcule u·v, ‖⁠u⁠‖ et ‖⁠v⁠‖.
cos α = u·v / (‖⁠u⁠‖ × ‖⁠v⁠‖).
Utilise la calculatrice pour α.

Exemple corrigé : u(2 ; 1), v(−1 ; 3)

cos α = 1/√50, α ≈ 81,9°.

⟂ Montrer que deux droites sont perpendiculaires

Démarche

Écris un vecteur directeur de chaque droite.
Calcule leur produit scalaire.
S'il est nul, les droites sont perpendiculaires.

Exemple corrigé : u(3 ; 1) et v(−1 ; 3)

−3 + 3 = 0 : orthogonaux.

➖ Équation d'une droite avec un vecteur normal

Démarche

Repère un point A et un vecteur normal n(a ; b).
Écris a(x − xA) + b(y − yA) = 0.
Développe : ax + by + c = 0.

Exemple corrigé : A(1 ; 1), n(2 ; 1)

2(x − 1) + (y − 1) = 0, soit 2x + y − 3 = 0.

❌ Ce que beaucoup fontPrendre le vecteur directeur comme normal.

✅ À faireLe normal (a ; b) se lit dans ax + by + c = 0.

⭕ Équation d'un cercle de diamètre [AB]

Démarche

Écris MA·MB = 0.
Développe (x − xA)(x − xB) + (y − yA)(y − yB) = 0.
Teste un point : remplace x et y.

Exemple corrigé : A(1 ; 2), B(7 ; −2)

x² + y² − 8x + 3 = 0.

🔺 Théorème d'Al-Kashi

Démarche

Repère l'angle et le côté opposé.
BC² = AB² + AC² − 2 AB·AC cos A.
Pour un angle : isole cos A.

Exemple corrigé : AB = 6, AC = 8, A = 60°

BC² = 52, BC ≈ 7,21.

❌ Ce que beaucoup fontConfondre le côté opposé avec un côté adjacent.

✅ À faireBC est opposé à A.

➕ Développer avec les règles

Démarche

Utilise (u + v)² = u² + 2u·v + v².
Remplace u² par ‖⁠u⁠‖².
Pour une démonstration : écris les vecteurs avec Chasles.

Exemple corrigé : ‖⁠u⁠‖ = 2, ‖⁠v⁠‖ = 3, u·v = −1

‖⁠u + v⁠‖² = 4 − 2 + 9 = 11.

🎯 Réussir une situation complexe

Démarche

Comprendre : qui dit quoi ?
Choisir l'outil adapté.
Calculer avec le signe.
Interpréter le résultat.
Conclure : qui a raison, avec une phrase et les unités.

Astuce. Les trois critères : interprétation de la situation, bons outils, réponse cohérente. Un seul calcul qui contredit un élève suffit pour lui répondre.

✍️ Rédiger proprement

Démarche

Écris la propriété utilisée : « u·v = xx' + yy' ».
Donne le calcul complet.
Conclus par une phrase.

Astuce. Une rédaction claire rapporte autant de points qu'un calcul juste.

Les 12 erreurs de copie à éviter

Relis-les avant chaque devoir.

❌Mettre une flèche sur le résultat du produit scalaire

✅Le produit scalaire est un nombre

❌Oublier le signe de cos α

✅Obtus → négatif

❌Se tromper de côté dans Al-Kashi

✅Le côté opposé à A est BC

❌Utiliser xx' + yy' dans un repère non orthonormé

✅Seulement en repère orthonormé

❌Écrire u·v = u × v

✅u·v = ‖⁠u⁠‖ × ‖⁠v⁠‖ × cos α

❌Penser que u·v = 0 impose u = 0

✅Il peut s'agir de vecteurs orthogonaux

❌Oublier le signe avec le projeté

✅+ si même côté, − sinon

❌Confondre vecteur directeur et vecteur normal

✅Normal : (a ; b) dans ax + by + c = 0

❌Se tromper dans le développement (u − v)²

✅u² − 2u·v + v²

❌Oublier de dire que M ≠ A, B pour l'angle droit

✅M est sur le cercle si MA·MB = 0

❌Arrondir trop tôt

✅Garde les valeurs exactes jusqu'à la fin

❌Ne pas conclure par une phrase avec l'unité

✅Qui a raison ? Une phrase, avec les unités

📖 Cours

8 sections courtes. Appuie sur 🎧 pour écouter chaque section expliquée à voix haute.

1Le travail d'une force

🎧 Écouter

Une histoire pour commencer : les deux charrettes Deux porteurs tirent deux charrettes de même charge, avec la même force. Pourtant l'un avance sans effort et l'autre péniblement. Un élève schématise : les cordes ne sont pas inclinées pareil. Pour comprendre, ils étudient le travail de chaque force.

Quand on tire une charrette avec une corde inclinée d'un angle α, seule la partie de la force dans le sens du déplacement fait avancer. Cette partie est F × cos α. Le travail vaut donc :

W = F × d × cos α

À retenir Plus l'angle est grand, plus le travail est petit. Si la force est perpendiculaire au déplacement (α = 90°), le travail est nul. Cette quantité s'appelle le produit scalaire de la force et du déplacement : W = F·d.

Vérifie-toi

Un porteur tire avec un angle de 90° par rapport au sol. Quel est le travail ?

Nul : cos 90° = 0. La force ne fait pas avancer la charrette.

2Définition du produit scalaire

🎧 Écouter

Définition. Le produit scalaire de deux vecteurs u et v non nuls est le nombre réel :

u·v = ‖⁠u⁠‖ × ‖⁠v⁠‖ × cos α

où α est l'angle entre u et v. Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire vaut 0.

Le signe

Angle aigu (moins de 90°) : produit scalaire positif.
Angle droit : produit scalaire nul.
Angle obtus (plus de 90°) : produit scalaire négatif.

Carré scalaire. u·u = ‖⁠u⁠‖² (on le note u²). Exemple : si ‖⁠u⁠‖ = 4, alors u² = 16.

Exemple. ‖⁠u⁠‖ = 4, ‖⁠v⁠‖ = 3 et un angle de 60° : u·v = 4 × 3 × 0,5 = 6.

Piège Le produit scalaire est un nombre, pas un vecteur : on ne met pas de flèche sur le résultat.

Vérifie-toi

‖⁠u⁠‖ = 2, ‖⁠v⁠‖ = 5 et l'angle vaut 180°. Que vaut u·v ?

2 × 5 × cos 180° = −10.

3Interprétation géométrique : le projeté

🎧 Écouter

Soit H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). Alors :

AB·AC = AB·AH

Si H est du même côté de A que B : AB·AC = + AB × AH.
Si H est de l'autre côté de A que B : AB·AC = − AB × AH.

Exemple. Sur la figure, AB = 4 et AH = 1, avec H du même côté que B : AB·AC = 4 × 1 = 4.

Pourquoi c'est utile Dès qu'on peut projeter, on évite les angles : un produit scalaire devient un produit de deux longueurs, avec le bon signe.

Piège N'oublie pas le signe : si le projeté est de l'autre côté, le produit scalaire est négatif.

Vérifie-toi

ABCD est un rectangle avec AB = 5 et BC = 3. Que vaut AB·AC ?

Le projeté de C sur (AB) est B : AB·AC = AB × AB = 25.

4Règles de calcul

🎧 Écouter

Le produit scalaire se calcule comme un produit de nombres :

Règles

Symétrie : u·v = v·u.
Distributivité : u·(v + w) = u·v + u·w.
Avec un réel : (ku)·v = k(u·v).

On en déduit les identités remarquables :

(u + v)² = u² + 2u·v + v²
(u − v)² = u² − 2u·v + v²
(u + v)·(u − v) = u² − v²

Exemple. ‖⁠u⁠‖ = 3, ‖⁠v⁠‖ = 4 et u·v = 0 : ‖⁠u + v⁠‖² = 9 + 0 + 16 = 25, donc ‖⁠u + v⁠‖ = 5.

Astuce de calcul Pour calculer un produit scalaire de vecteurs « compliqués », décompose-les avec la relation de Chasles, par exemple AC = AB + BC, en choisissant des vecteurs dont le produit est simple (colinéaires ou orthogonaux).

Vérifie-toi

Développe (u + v)·(u − v).

u² − v² : les termes u·v se compensent.

5Produit scalaire et orthogonalité

🎧 Écouter

Orthogonalité Deux vecteurs non nuls u et v sont orthogonaux si et seulement si u·v = 0.

Le cercle de diamètre [AB]. Un point M (autre que A et B) est sur le cercle de diamètre [AB] si et seulement si l'angle AMB est droit, c'est-à-dire :

MA·MB = 0

Exemple. A(0 ; 0), B(6 ; 0) et M(1,2 ; 2,4). MA(−1,2 ; −2,4) et MB(4,8 ; −2,4) : MA·MB = −5,76 + 5,76 = 0. M est sur le cercle de diamètre [AB].

Piège Avec M = A ou M = B, le produit est nul sans qu'il y ait un angle droit : ces deux points sont sur le cercle, mais on ne parle pas d'angle.

Vérifie-toi

Comment montrer que (AB) ⟂ (CD) avec des vecteurs ?

On calcule AB·CD : s'il vaut 0, les droites sont perpendiculaires.

6Relations métriques et Al-Kashi

🎧 Écouter

Théorème d'Al-Kashi. Dans un triangle ABC :

BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos A

On l'utilise pour trouver un côté (deux côtés et l'angle entre eux) ou un angle (les trois côtés).

Exemple (côté). AB = 5, AC = 4, A = 60° : BC² = 25 + 16 − 40 × 0,5 = 21, donc BC = √21 ≈ 4,58.

Exemple (angle). Côtés 5, 6 et 7 : l'angle opposé au côté 7 vérifie cos = (25 + 36 − 49)/60 = 0,2, donc environ 78,5°.

Cas du triangle rectangle Si l'angle A est droit, cos A = 0 et on retrouve Pythagore : BC² = AB² + AC². Et on a aussi AB·AC = ½(AB² + AC² − BC²).

Piège Le côté opposé à A est BC. Ne te trompe pas de côté dans la formule. Le théorème de la médiane est traité en exercices : sa formule est rappelée dans l'énoncé.

Vérifie-toi

AB = 3, AC = 4 et BC = 5. Que vaut l'angle A ?

BC² = AB² + AC² : cos A = 0, donc A = 90°.

7Forme analytique (repère orthonormé)

🎧 Écouter

Dans un repère orthonormé, si u(x ; y) et v(x' ; y') :

u·v = xx' + yy' et ‖⁠u⁠‖ = √(x² + y²)

Orthogonalité : u ⟂ v si et seulement si xx' + yy' = 0.
Angle : cos α = (xx' + yy') / (‖⁠u⁠‖ × ‖⁠v⁠‖).

Exemple. u(3 ; 1) et v(−1 ; 3) : u·v = −3 + 3 = 0 : ils sont orthogonaux.

Piège Cette formule n'est valable que dans un repère orthonormé. Et on multiplie abscisse par abscisse, ordonnée par ordonnée, puis on additionne.

Vérifie-toi

u(2 ; −1) et v(1 ; 2). Que vaut u·v ?

2 × 1 + (−1) × 2 = 0 : ils sont orthogonaux.

8Traiter une situation avec le produit scalaire

🎧 Écouter

Le produit scalaire sert à trouver une équation de droite, une équation de cercle, un angle ou une longueur.

Équation d'une droite. La droite passant par A et de vecteur normal n(a ; b) est l'ensemble des points M tels que AM·n = 0. Son équation est ax + by + c = 0.

Exemple. A(1 ; 1), n(2 ; 1) : 2(x − 1) + (y − 1) = 0, soit 2x + y − 3 = 0.

Équation d'un cercle de diamètre [AB]. MA·MB = 0 donne (x − xA)(x − xB) + (y − yA)(y − yB) = 0.

Comprendre : force, angle, longueur ou droite ? Qui dit quoi ?
Choisir l'outil : définition, projeté, coordonnées ou Al-Kashi.
Calculer avec soin le produit scalaire et son signe.
Interpréter : signe, nullité, angle.
Conclure par une phrase, avec les unités.

Vérifie-toi

Quelle est l'équation de la droite passant par A(0 ; 0) de vecteur normal n(1 ; 2) ?

x + 2y = 0.

Produit scalaire

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Les 5 temps d'un exercice

Si tu vois… pense à…

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1Le travail d'une force

2Définition du produit scalaire

3Interprétation géométrique : le projeté

4Règles de calcul

5Produit scalaire et orthogonalité

6Relations métriques et Al-Kashi

7Forme analytique (repère orthonormé)

8Traiter une situation avec le produit scalaire

❓ Quiz

?QCM de la leçon

✏️ Exercices

✎Exercices corrigés

🎯 Vers le DS