Leçon 8 : Rotations

🧭 Savoir-faire

Comment calculer l'image d'un point par une rotation, trouver un centre et un angle, utiliser la conservation des distances, et éviter les erreurs qui coûtent des points.

Les 5 temps d'un exercice

Coche chaque temps en appuyant dessus.

1ComprendreLis l'énoncé. Quelle figure tourne ? Que doit-on calculer ou démontrer ?
2TraduireFais un dessin à main levée. Note le centre, l'angle, les points et leurs images.
3Trouver le centre et l'anglePar les médiatrices de [MM'] et de [NN'], ou grâce à la figure (carré, équilatéral).
4CalculerLes images des points avec les coordonnées. Longueurs et aires conservées.
5ConclureUne phrase qui répond à la question, avec les unités. Discute : angle +60° ou −60° ?

Si tu vois… pense à…

« tourner », « pivoter », « quart de tour »	Rotation : centre et angle.
« sens des aiguilles »	Sens négatif (−).
« OM' = OM »	M' est sur le cercle de centre O.
« demi-tour », « 180° »	Symétrie centrale.
« à égale distance de M et M' »	Médiatrice de [MM'] : le centre est dessus.
« longueur », « aire »	Conservées par la rotation.
« carré de centre O »	Rotation de 90° autour de O.
« triangle équilatéral »	Rotation de ±60° autour d'un sommet.
« perpendiculaire » avec un angle de 90°	L'angle droite-image vaut α.
« dis qui a raison »	Teste avec un calcul, puis conclus par une phrase.

Les fiches méthode

Ouvre la fiche qui correspond à ton exercice.

🔎 Calculer l'image d'un point (quart de tour)

Démarche

Centre O (origine) : +90° → (−y ; x), −90° → (y ; −x), 180° → (−x ; −y).
Centre Ω(a ; b) : calcule ΩM, tourne-le, puis ajoute Ω.
Contrôle : ΩM' = ΩM.

Exemple corrigé : Ω(1 ; 1), +90°, A(4 ; 1)

ΩA(3 ; 0) devient (0 ; 3), donc A' = (1 ; 1) + (0 ; 3) = (1 ; 4).

❌ Ce que beaucoup fontÉcrire (−y ; x) pour −90°.

✅ À fairePour −90°, c'est (y ; −x). Teste avec (1 ; 0) : il doit aller vers le bas.

🔄 Demi-tour

Démarche

Rotation de 180° = symétrie centrale.
O est le milieu de [MM'].
Avec le centre O : (x ; y) devient (−x ; −y).

Exemple corrigé : A(3 ; −2)

A' = (−3 ; 2), et le milieu de [AA'] est O.

📏 Distances et aires conservées

Démarche

M'N' = MN : les longueurs ne changent pas.
Les aires non plus.
Test : si MN ≠ M'N', ce n'est pas une rotation.

Exemple corrigé : pale de ventilateur [AB], AB = √10

A'B' = √10 aussi : 31,6 cm avant et après.

⭕ Image d'un cercle ou d'une droite

Démarche

Cercle : image du centre, même rayon.
Droite : images de deux points, puis relie-les.
La droite image forme avec la droite de départ l'angle α.

Exemple corrigé : y = 2x + 1, +90° autour de O

A(0 ; 1) → (−1 ; 0), B(1 ; 3) → (−3 ; 1). Droite : x + 2y + 1 = 0.

🎯 Trouver le centre par les médiatrices

Démarche

Vérifie MN = M'N'.
Écris la médiatrice de [MM'] : milieu et vecteur normal.
Écris la médiatrice de [NN'].
Résous le système : c'est le centre.
Déduis l'angle avec ΩM et ΩM'.

Exemple corrigé : M(5 ; 1) → (3 ; −3), N(2 ; 3) → (5 ; 0)

Médiatrices : x + 2y = 2 et x − y = 2. Centre (2 ; 0).

❌ Ce que beaucoup fontPrendre le milieu de [MM'] comme centre.

✅ À faireLe centre est sur la médiatrice, pas forcément au milieu.

🟦 Carré de centre O

Démarche

Les sommets se suivent à 90° autour de O.
La rotation de centre O et d'angle 90° envoie A sur B, B sur C, C sur D.
Les diagonales sont égales et perpendiculaires.

Exemple corrigé : A(2 ; 0), B(0 ; 2), C(−2 ; 0), D(0 ; −2)

r(A) = B, r(C) = D : AC = BD et (AC) ⟂ (BD).

🔺 Triangle équilatéral

Démarche

ABC équilatéral : C est l'image de B par la rotation de centre A et d'angle ±60°.
Il y a deux solutions.
Donne les coordonnées exactes avec √3.

Exemple corrigé : A(0 ; 0), B(4 ; 0)

C₁(2 ; 2√3) et C₂(2 ; −2√3).

❌ Ce que beaucoup fontNe donner qu'une seule solution.

✅ À faireDiscute : ±60°.

⚖️ Démontrer BE = DC ou une perpendicularité

Démarche

Repère le centre commun (le sommet commun).
Trouve l'angle (60° ou 90°).
Écris : « r envoie D sur B et C sur E ».
Conclus : r conserve les distances, donc BE = DC.
L'angle entre (DC) et (BE) est l'angle de r.

Exemple corrigé : deux carrés de sommet commun A

r(A ; 90°) envoie B sur D et E sur G : BE = DG et (BE) ⟂ (DG).

🌀 Ventilateur, moulinet, roue

Démarche

Le centre est l'axe de rotation.
Pale = segment : longueur conservée.
Le chemin d'une pointe est un arc de cercle : (angle/360°) × 2πr.

Exemple corrigé : quart de tour, r = √29

Arc : (π/2) × √29 ≈ 8,46, plus long que la corde √58 ≈ 7,62.

❌ Ce que beaucoup fontPrendre la distance en ligne droite comme chemin.

✅ À faireLe chemin est un arc.

🎯 Réussir une situation complexe

Démarche

Comprendre : qui dit quoi ? Quelle figure tourne ?
Trouver le centre et l'angle.
Calculer les images avec les coordonnées.
Utiliser la conservation des distances.
Conclure : qui a raison, avec une phrase et les unités.

Astuce. Les trois critères : interprétation de la situation, bons outils, réponse cohérente. Un seul calcul qui contredit un élève suffit pour lui répondre.

✍️ Rédiger proprement

Démarche

Écris : « Soit r la rotation de centre … et d'angle … ».
Écris les images : « r(B) = D ».
Cite la propriété : « r conserve les distances ».
Conclus par une phrase.

Astuce. Une rédaction claire rapporte autant de points qu'un calcul juste.

Les 12 erreurs de copie à éviter

Relis-les avant chaque devoir.

❌Se tromper de sens de rotation

✅Positif = inverse des aiguilles ; teste avec (1 ; 0)

❌Confondre rotation et symétrie

✅Une rotation a un centre et un angle

❌Écrire (−y ; x) pour −90°

✅Pour −90° : (y ; −x)

❌Appliquer les formules quand le centre n'est pas l'origine

✅Passer par le vecteur ΩM

❌Penser que le centre est le milieu de [MM']

✅Il est sur la médiatrice de [MM']

❌Oublier de vérifier MN = M'N'

✅Une rotation conserve les distances

❌Dire que les aires changent

✅Les aires sont conservées

❌Dire qu'une droite et son image sont parallèles

✅Elles forment l'angle α

❌Changer le rayon d'un cercle

✅Le rayon est conservé

❌Ne donner qu'un seul triangle équilatéral

✅Il y a deux solutions : ±60°

❌Prendre BB' comme chemin parcouru

✅Le chemin est un arc de cercle

❌Ne pas conclure par une phrase avec l'unité

✅Qui a raison ? Une phrase, avec les unités

📖 Cours

8 sections courtes. Appuie sur 🎧 pour écouter chaque section expliquée à voix haute.

1Tourner autour d'un point

🎧 Écouter

Une histoire pour commencer : le moulinet Au tableau, le professeur dessine un triangle, puis le fait « tourner » autour d'un point fixe : un quart de tour, un demi-tour, trois quarts de tour. Une élève remarque : « le triangle garde exactement la même forme et la même taille, il a seulement changé de place ». Un autre élève demande : « autour de quel point ? et de combien ? ». Il faut deux renseignements : le centre et l'angle.

Une rotation fait tourner chaque point autour d'un point fixe O, le centre, d'un même angle. On la rencontre partout : les aiguilles d'une horloge, les pales d'un ventilateur, une roue de vélo. On peut aussi la voir avec un calque : on pique le crayon en O et on fait pivoter le calque.

À retenir Une rotation change la position de la figure mais pas sa forme ni sa taille.

Vérifie-toi

Une roue de vélo tourne. Le point de la roue le plus proche de l'axe change-t-il de distance à l'axe ?

Non. Tous les points restent à la même distance de l'axe pendant la rotation.

2Définition : centre et angle

🎧 Écouter

Rappel sur les angles orientés. L'angle orienté (OM, OM') se mesure dans le sens positif (le sens inverse des aiguilles d'une montre) ou dans le sens négatif (celui des aiguilles). Le cours « Angles orientés et trigonométrie » viendra plus tard : ici, on n'a besoin que de cette idée.

Définition. Soit O un point et α un angle. La rotation de centre O et d'angle α est la transformation qui, à tout point M, associe le point M' tel que :

OM' = OM et (OM , OM') = α

Le point M' est sur le cercle de centre O qui passe par M.
Si α > 0, on tourne dans le sens positif ; si α < 0, dans le sens négatif.

Cas particuliers

α = 0° : M' = M pour tout M. C'est l'identité.
α = 180° : O est le milieu de [MM']. C'est la symétrie centrale de centre O.
L'image du centre O est O : le centre est invariant.

Piège Dans le triangle OMM', on a OM = OM'. Si α = 60°, il est équilatéral. Si α = 90°, il est rectangle isocèle en O.

Vérifie-toi

M' est l'image de M par la rotation de centre O et d'angle 90°. Quelle est la nature du triangle OMM' ?

Rectangle isocèle en O : OM = OM' et l'angle en O vaut 90°.

3Construire l'image d'un point

🎧 Écouter

Sur une figure. Avec le compas, trace le cercle de centre O qui passe par M. Avec le rapporteur, mesure l'angle α à partir de (OM), dans le bon sens. Le point M' est sur le cercle, au bout de l'angle.

Avec les coordonnées (centre O, origine). Pour les quarts de tour, on retient :

Rotations de centre O (l'origine)

+90° : (x ; y) devient (−y ; x).
−90° : (x ; y) devient (y ; −x).
180° : (x ; y) devient (−x ; −y).

Exemple : A(3 ; 1). Par +90° : (−1 ; 3). Par −90° : (1 ; −3). Par 180° : (−3 ; −1).

Si le centre est Ω(a ; b) : calcule le vecteur ΩM, tourne-le avec la règle ci-dessus, puis ajoute Ω.

Piège Ces formules ne marchent directement que si le centre est l'origine. Sinon, il faut passer par le vecteur ΩM.

Vérifie-toi

Quelle est l'image de A(2 ; −1) par la rotation de centre O et d'angle +90° ?

(1 ; 2). (x ; y) devient (−y ; x) : (−(−1) ; 2).

4La propriété fondamentale : les distances

🎧 Écouter

Propriété fondamentale. Si M' et N' sont les images de M et N par une rotation, alors :

M'N' = MN

Une rotation conserve les distances. On en déduit :

Distances et aires

Les longueurs sont conservées.
Les aires sont conservées.
Les angles sont conservés.

Exemple. Une pale de ventilateur de 31,6 cm mesure encore 31,6 cm après un quart de tour. Un triangle d'aire 6 cm² a une image d'aire 6 cm².

Attention Si, pour deux points M et N et leurs images M' et N', on trouve MN ≠ M'N', alors ce n'est pas une rotation. C'est un test très utile.

Vérifie-toi

Un triangle a pour aire 12 cm². Quelle est l'aire de son image par une rotation ?

12 cm². Les aires sont conservées.

5Images de figures simples

🎧 Écouter

Images usuelles

Un segment [AB] a pour image le segment [A'B'], de même longueur.
Une droite a pour image une droite (qui forme avec la première l'angle α).
Une demi-droite a pour image une demi-droite.
Un cercle de centre Ω et de rayon r a pour image le cercle de centre Ω' (image de Ω) et de même rayon r.

Exemple. Le cercle de centre (3 ; 1) et de rayon 1,5, par la rotation de centre O et d'angle +90°, devient le cercle de centre (−1 ; 3) et de rayon 1,5 : (x + 1)² + (y − 3)² = 2,25.

Piège Le centre du cercle image n'est pas le centre de la rotation : c'est l'image du centre du cercle.

Vérifie-toi

Un cercle de rayon 4 est tourné de 30°. Quel est le rayon de l'image ?

4. Une rotation conserve les distances.

6Ce qui est conservé

🎧 Écouter

Une rotation conserve :

les distances et les aires ;
l'alignement : trois points alignés ont des images alignées ;
le parallélisme et l'orthogonalité ;
le milieu : si I est le milieu de [AB], I' est le milieu de [A'B'] ;
les angles (leurs mesures).

Le seul point invariant Si l'angle n'est pas nul, le seul point invariant est le centre O.

Pourquoi ? Si M' = M, alors l'angle (OM, OM') est nul, donc α = 0°, sauf si M = O.

Attention Une droite et son image ne sont pas parallèles en général : elles forment l'angle α. Elles ne sont parallèles que pour α = 180° (ou 0°).

Vérifie-toi

Une droite (d) est tournée de 90°. Quelle est la position de son image par rapport à (d) ?

Perpendiculaire à (d). L'angle entre une droite et son image est l'angle de la rotation.

7Caractériser une rotation

🎧 Écouter

Une rotation est connue dès qu'on a le centre et l'angle. On peut aussi la retrouver avec des points et leurs images :

Un centre, un point et son image : l'angle est (OM, OM').
Un angle, un point et son image : le centre est sur la médiatrice de [MM'].
Deux points et leurs images : le centre est à l'intersection des médiatrices de [MM'] et de [NN'].

Exemple : M(4 ; 1) → M'(1 ; 4) et N(4 ; 3) → N'(−1 ; 4). La médiatrice de [MM'] est y = x et celle de [NN'] est y = 5x − 4. Elles se coupent en (1 ; 1) : c'est le centre. Et ΩM(3 ; 0) devient (0 ; 3) : l'angle est +90°.

Piège Avant de chercher le centre, vérifie que MN = M'N'. Si ce n'est pas le cas, il n'y a pas de rotation.

Vérifie-toi

Où est le centre d'une rotation qui envoie M sur M' ?

Sur la médiatrice de [MM'], car il est à égale distance de M et de M'.

8Traiter une situation avec une rotation

🎧 Écouter

Dans les devoirs, il s'agit souvent de démontrer une égalité de longueurs ou une perpendicularité : on trouve la bonne rotation, puis on utilise la conservation des distances.

Comprendre : quelle figure tourne ? Qui dit quoi ?
Trouver la rotation : centre et angle (souvent 60° ou 90°).
Écrire les images des points utiles.
Utiliser la propriété : longueurs conservées, angle entre une droite et son image = α.
Conclure par une phrase, avec les unités.

Deux carrés de même sommet A. La rotation de centre A et d'angle 90° envoie B sur D et E sur G. Donc BE = DG et (BE) ⟂ (DG).

Deux triangles équilatéraux. ABD et ACE équilatéraux. La rotation de centre A et d'angle 60° envoie D sur B et C sur E. Donc BE = DC.

Vérifie-toi

Dans un carré ABCD de centre O (sens direct), quelle rotation envoie A sur B ?

La rotation de centre O et d'angle 90°.

Rotations

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Si tu vois… pense à…

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1Tourner autour d'un point

2Définition : centre et angle

3Construire l'image d'un point

4La propriété fondamentale : les distances

5Images de figures simples

6Ce qui est conservé

7Caractériser une rotation

8Traiter une situation avec une rotation

❓ Quiz

?QCM de la leçon

✏️ Exercices

✎Exercices corrigés

🎯 Vers le DS