Leçon 7 : Homothéties

🧭 Savoir-faire

Comment calculer l'image d'un point, trouver un centre et un rapport, utiliser longueurs et aires avec une homothétie, et éviter les erreurs qui coûtent des points.

Les 5 temps d'un exercice

Coche chaque temps en appuyant dessus.

1ComprendreLis l'énoncé. Quelle figure est agrandie ou réduite ? Que doit-on calculer ou démontrer ?
2TraduireFais un dessin à main levée. Note le centre, les points et leurs images.
3Trouver le centre et le rapportPar un calcul : M'N' = kMN, intersection de (MM') et (NN').
4CalculerLes images des points avec les coordonnées. Longueurs × |k|, aires × k².
5ConclureUne phrase qui répond à la question, avec les unités. Discute le nombre de solutions.

Si tu vois… pense à…

« agrandir », « réduire », « échelle »	Homothétie : rapport k, longueurs × \|k\|.
« aire », « surface »	Multiplie par k².
« OM' = kOM »	Homothétie de centre O et de rapport k.
« symétrique par rapport à O »	Homothétie de rapport −1.
« projecteur », « point de vue »	Le centre est l'intersection de (MM') et (NN').
« parallèles »	L'image d'une droite est une droite parallèle.
« milieu de [AB] »	Homothétie de centre A et de rapport 2 ou ½.
« centre de gravité »	Homothétie de centre G et de rapport −½.
« cercle de centre Ω et de rayon r »	Image : centre Ω' et rayon \|k\| r.
« dis qui a raison »	Teste avec un calcul, puis conclus par une phrase.

Les fiches méthode

Ouvre la fiche qui correspond à ton exercice.

🔎 Calculer l'image d'un point

Démarche

Centre à l'origine : (x ; y) devient (kx ; ky).
Centre Ω(a ; b) : calcule ΩM, multiplie par k, puis ajoute Ω.
Contrôle : O, M et M' doivent être alignés, et OM' = |k| OM.

Exemple corrigé : Ω(1 ; 2), k = 3, A(2 ; 3)

ΩA(1 ; 1), ΩA'(3 ; 3), A' = (1 + 3 ; 2 + 3) = (4 ; 5).

❌ Ce que beaucoup fontMultiplier par k les coordonnées de M quand le centre n'est pas l'origine.

✅ À fairePasse par le vecteur ΩM.

🧭 Lire le rapport

Démarche

Compare OM' et OM : même côté de O → k positif, côtés opposés → k négatif.
Divise OM' par OM pour la valeur.
Donne le signe et la valeur : k = ± OM'/OM.

Exemple corrigé : OM = 4, OM' = 2, de part et d'autre de O

k = −2/4 = −0,5.

📏 Longueurs et aires

Démarche

Longueurs : multiplie par |k|.
Aires : multiplie par k².
Pour retrouver le rapport à partir de deux aires : |k| = √(rapport des aires).

Exemple corrigé : k = 3, aire 5 cm²

Aire de l'image : 5 × 9 = 45 cm².

❌ Ce que beaucoup fontMultiplier les aires par k.

✅ À faireLes aires sont multipliées par k².

⭕ Image d'un cercle

Démarche

Calcule l'image Ω' du centre Ω.
Le rayon est multiplié par |k|.
Écris l'équation : (x − x')² + (y − y')² = r'².

Exemple corrigé : centre (3 ; 2), rayon 1,5, k = 2, centre O

Centre (6 ; 4), rayon 3 : (x − 6)² + (y − 4)² = 9.

➖ Image d'une droite ou d'un segment

Démarche

Construis les images de deux points de la droite.
Relie-les : la droite image est parallèle à la droite de départ.
Pour un segment : [A'B'] avec A'B' = |k| AB.

Astuce. Si la droite passe par le centre, elle est envoyée sur elle-même.

🎯 Trouver le centre et le rapport

Démarche

Calcule MN et M'N' : si M'N' = kMN, tu as k.
Écris les équations de (MM') et (NN').
Le centre est leur point d'intersection.
Contrôle : OM' = kOM.

Exemple corrigé : M(1 ; 2) → (3 ; 4), N(2 ; 1) → (6 ; 1)

MN(1 ; −1), M'N'(3 ; −3) : k = 3. (MM') : y = x + 1, (NN') : y = 1. Centre (0 ; 1).

∥ Démontrer un parallélisme

Démarche

Repère l'homothétie indiquée dans l'énoncé (centre et rapport).
Écris les images de deux points de la première droite.
Conclus : une homothétie envoie une droite sur une droite parallèle.

Exemple corrigé : I et J milieux de [AB] et [AC]

h(A ; 2) envoie I sur B et J sur C : (IJ) ∥ (BC) et BC = 2IJ.

🔺 Triangle des milieux

Démarche

Calcule le centre de gravité G : moyenne des coordonnées.
Utilise l'homothétie de centre G et de rapport −½.
L'image de A est le milieu de [BC], et ainsi de suite.
L'aire est multipliée par ¼.

Exemple corrigé : A(1 ; 1), B(7 ; 1), C(4 ; 7)

G(4 ; 3). A'(5,5 ; 4), B'(2,5 ; 4), C'(4 ; 1). Aires : 18 et 4,5.

🏠 Maquette et plan à l'échelle

Démarche

L'échelle 1/n est une homothétie de rapport 1/n.
Convertis les longueurs dans la même unité.
Les longueurs sont multipliées par 1/n, les aires par 1/n².
Pour la peinture, ce sont les aires qui comptent.

Exemple corrigé : mur de 12 m sur 6 m, échelle 1/50

Maquette : 24 cm sur 12 cm, aire 288 cm² (72 m² divisés par 2 500).

❌ Ce que beaucoup fontDiviser l'aire par 50.

✅ À faireDivise-la par 50² = 2 500.

🔦 Projecteur, ombre, agrandissement

Démarche

Le projecteur est le centre de l'homothétie.
Pour le trouver : intersection de (MM') et (NN').
Le rapport est M'N'/MN.
Aires : multiplie par k².

Exemple corrigé

M(2 ; 1) → (4 ; 5) et N(3 ; 2) → (7 ; 8) : k = 3 et centre (1 ; −1).

🎯 Réussir une situation complexe

Démarche

Comprendre : qui dit quoi ? Quelle figure est agrandie ?
Trouver le centre et le rapport.
Calculer les images avec les coordonnées.
Utiliser longueurs × |k| et aires × k².
Conclure : qui a raison, avec une phrase et les unités.

Astuce. Les trois critères : interprétation de la situation, bons outils, réponse cohérente. Un seul calcul qui contredit un élève suffit pour lui répondre.

Les 12 erreurs de copie à éviter

Relis-les avant chaque devoir.

❌Confondre le rapport k et son inverse 1/k

✅Si l'image est deux fois plus grande, k = 2

❌Oublier le signe de k

✅Négatif si M' est de l'autre côté de O

❌Multiplier les aires par k

✅Les aires sont multipliées par k²

❌Multiplier le rayon d'un cercle par k négatif

✅Le rayon est multiplié par |k|

❌Multiplier les coordonnées de M par k quand le centre n'est pas l'origine

✅Passer par le vecteur ΩM

❌Dire que le centre du cercle image est le centre de l'homothétie

✅C'est l'image du centre du cercle

❌Dire qu'une homothétie conserve les longueurs

✅Elle multiplie les longueurs par |k|

❌Placer l'image du même côté de O pour k négatif

✅k négatif : de l'autre côté de O

❌Diviser l'aire par 50 pour une échelle de 1/50

✅Diviser l'aire par 50² = 2 500

❌Chercher le centre sans utiliser deux points et leurs images

✅Intersection de (MM') et (NN')

❌Oublier de dire quelle homothétie on utilise

✅Écrire : « l'homothétie de centre … et de rapport … »

❌Ne pas conclure par une phrase avec l'unité

✅Qui a raison ? Une phrase, avec les unités

📖 Cours

8 sections courtes. Appuie sur 🎧 pour écouter chaque section expliquée à voix haute.

1Agrandir, réduire : la case et sa porte

🎧 Écouter

Une histoire pour commencer : la case 2 Au tableau, le professeur dessine une case, puis la même case en plus grand. Une élève remarque : « chaque point de la case 2 est sur la demi-droite qui part de O et passe par son point de départ, et la distance a été multipliée par le même nombre : OA'/OA = OB'/OB ». Un autre élève veut dessiner la porte de la case 2 « en respectant les proportions ». Ils vont chercher ce nombre, puis finir la construction. Ce nombre s'appelle le rapport de l'homothétie.

Une homothétie est une transformation qui agrandit ou réduit une figure sans la déformer. Tous les points s'éloignent ou se rapprochent d'un point fixe O, le centre, selon un même facteur k, le rapport.

À retenir Une homothétie garde la forme de la figure (les angles, les directions) mais change sa taille. C'est ce qui permet de faire des plans, des maquettes et des agrandissements.

Vérifie-toi

Une photo est agrandie deux fois. Les angles de l'image changent-ils ?

Non. L'homothétie conserve les angles : seule la taille change.

2Définition : centre et rapport

🎧 Écouter

Définition. Soit O un point et k un réel non nul. L'homothétie de centre O et de rapport k est la transformation qui, à tout point M, associe le point M' tel que :

OM' = kOM

Si k > 0 : M' est sur la demi-droite [OM), du même côté de O que M.
Si k < 0 : M' est de l'autre côté de O.
OM' = |k| × OM.

Cas particuliers

k = 1 : M' = M pour tout M. C'est l'identité.
k = −1 : O est le milieu de [MM']. C'est la symétrie centrale de centre O.
L'image du centre O est O : le centre est invariant.

Alignement. Comme OM' = kOM, les vecteurs sont colinéaires : O, M et M' sont toujours alignés.

Piège Ne confonds pas k et son inverse. Si l'image est deux fois plus grande, k = 2 (pas 1/2). Pour passer de l'image à la figure de départ, on utilise 1/k.

Vérifie-toi

M' est l'image de M par l'homothétie de centre O et de rapport 1/2. Où est M' ?

Au milieu de [OM] : OM' = ½OM.

3Construire l'image d'un point

🎧 Écouter

Sur une figure. Trace la droite (OM). Place M' sur cette droite, à la distance |k| × OM de O : du même côté que M si k est positif, de l'autre côté si k est négatif.

Avec les coordonnées. Si le centre est l'origine, on multiplie les coordonnées par k : M(x ; y) a pour image (kx ; ky). Si le centre est Ω(a ; b) :

Calcule ΩM = (x − a ; y − b).
Multiplie par k : ΩM' = (k(x − a) ; k(y − b)).
M' = Ω + ΩM' : M'(a + k(x − a) ; b + k(y − b)).

Exemple : Ω(1 ; 2), k = 3, A(2 ; 3). ΩA(1 ; 1), donc ΩA'(3 ; 3) et A' = (1 + 3 ; 2 + 3) = (4 ; 5).

Piège Ne multiplie par k les coordonnées de M que si le centre est l'origine. Sinon, il faut passer par le vecteur ΩM.

Vérifie-toi

Quelle est l'image de A(2 ; −1) par l'homothétie de centre O et de rapport −3 ?

(−6 ; 3). On multiplie les deux coordonnées par −3.

4La propriété fondamentale : longueurs et aires

🎧 Écouter

Propriété fondamentale. Si M' et N' sont les images de M et N par l'homothétie de rapport k, alors :

M'N' = kMN

On en déduit tout de suite deux choses :

Longueurs et aires

Les longueurs sont multipliées par |k| : M'N' = |k| × MN.
Les aires sont multipliées par k².

Exemple : k = 3. Un segment de 4 cm devient un segment de 12 cm. Un triangle d'aire 5 cm² devient un triangle d'aire 5 × 9 = 45 cm².

Piège classique Quand on agrandit une maquette 50 fois, on ne multiplie pas la peinture par 50 mais par 50² = 2 500. C'est l'erreur de la situation de la maquette dans l'onglet Vers le DS.

Vérifie-toi

Rapport 1/2. Une aire de 20 cm² devient quelle aire ?

20 × (1/2)² = 5 cm².

5Images de figures simples

🎧 Écouter

Images usuelles

Un segment [AB] a pour image [A'B'], avec A'B' = |k| AB.
Une droite a pour image une droite parallèle (elle-même si elle passe par le centre).
Une demi-droite a pour image une demi-droite.
Un cercle de centre Ω et de rayon r a pour image le cercle de centre Ω' (image de Ω) et de rayon |k| r.

Exemple. Le cercle de centre (3 ; 2) et de rayon 1,5, par l'homothétie de centre O et de rapport 2, devient le cercle de centre (6 ; 4) et de rayon 3.

Piège Le rayon est multiplié par |k|, pas par k : il reste positif. Et le centre du cercle image est l'image du centre, pas le centre de l'homothétie.

Vérifie-toi

Un cercle de rayon 4 est transformé par l'homothétie de rapport −2. Quel est le rayon de l'image ?

|−2| × 4 = 8.

6Ce qui est conservé

🎧 Écouter

Une homothétie conserve :

l'alignement : trois points alignés ont des images alignées ;
le parallélisme et l'orthogonalité ;
le milieu : si I est le milieu de [AB], I' est le milieu de [A'B'] ;
les angles (leurs mesures) ;
le contact : si une droite touche un cercle, l'image touche l'image.

Ce qui change et ce qui ne change pas

Les longueurs et les aires changent (sauf si |k| = 1).
Si k ≠ 1, le seul point invariant est le centre O.

Pourquoi un seul point invariant ? Si M' = M, alors OM = kOM, donc (1 − k)OM = 0. Comme k ≠ 1, OM = 0 et M = O.

Attention Une droite qui passe par le centre est son propre image, mais ses points ne sont pas invariants (sauf O).

Vérifie-toi

Deux droites perpendiculaires ont-elles pour images deux droites perpendiculaires ?

Oui. L'homothétie conserve l'orthogonalité.

7Caractériser une homothétie

🎧 Écouter

Une homothétie est connue dès qu'on a trois renseignements parmi : le centre, le rapport, un point et son image.

Un centre, un point et son image : le rapport est k = OM'/OM.
Un rapport, un point et son image : le centre est sur la droite (MM') ; on le trouve par OM' = kOM.
Deux points et leurs images : le centre est à l'intersection de (MM') et (NN'), et le rapport vérifie M'N' = kMN.

Exemple : M(1 ; 2) → M'(3 ; 4) et N(2 ; 1) → N'(6 ; 1). MN(1 ; −1), M'N'(3 ; −3) : k = 3. (MM') : y = x + 1 et (NN') : y = 1. Intersection : le centre est (0 ; 1).

Piège Si les droites (MM') et (NN') sont parallèles, il n'y a pas d'homothétie de centre : c'est alors une translation. Et si M'N' n'est pas colinéaire à MN, ce n'est pas une homothétie du tout.

Vérifie-toi

Si M'N' = −2MN, que vaut le rapport ?

k = −2.

8Traiter une situation avec une homothétie

🎧 Écouter

Dans les devoirs, l'énoncé indique quelle homothétie utiliser. Il faut alors repérer le centre et le rapport, écrire où vont les points, puis utiliser une propriété de conservation.

Comprendre : quelle figure est agrandie ou réduite ? Qui dit quoi ?
Trouver le centre et le rapport (par un calcul ou une lecture).
Écrire les images des points utiles.
Utiliser la propriété : parallélisme, milieu, longueurs × |k|, aires × k².
Conclure par une phrase, avec les unités.

Le théorème des milieux. I et J sont les milieux de [AB] et [AC]. L'homothétie de centre A et de rapport 2 envoie I sur B et J sur C. Donc (IJ) ∥ (BC) et BC = 2IJ.

Le triangle des milieux. L'homothétie de centre G (le centre de gravité) et de rapport −½ envoie A, B, C sur les milieux de [BC], [AC], [AB]. Son aire est le quart de celle de ABC.

Vérifie-toi

Quel est le rapport de l'homothétie de centre A qui envoie le milieu I de [AB] sur B ?

2, car AB = 2AI.

Homothéties

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Si tu vois… pense à…

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Démarche

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1Agrandir, réduire : la case et sa porte

2Définition : centre et rapport

3Construire l'image d'un point

4La propriété fondamentale : longueurs et aires

5Images de figures simples

6Ce qui est conservé

7Caractériser une homothétie

8Traiter une situation avec une homothétie

❓ Quiz

?QCM de la leçon

✏️ Exercices

✎Exercices corrigés

🎯 Vers le DS