Leçon 6 : Symétries et translations

🧭 Savoir-faire

Comment construire une figure, démontrer une propriété et trouver un ensemble de points avec des symétries et des translations, et éviter les erreurs qui coûtent des points.

Les 5 temps d'un exercice

Coche chaque temps en appuyant dessus.

1ComprendreLis l'énoncé. Quelle figure, quel ensemble ? Que doit-on construire, démontrer ou trouver ?
2TraduireFais un dessin à main levée. Note les coordonnées des points et les relations (milieu, vecteur égal).
3Choisir la transformationTranslation, symétrie centrale ou symétrie orthogonale ?
4CalculerLes images des points, avec les coordonnées. Un calcul par ligne.
5ConclureUne phrase qui répond à la question, avec les unités. Discute le nombre de solutions.

Si tu vois… pense à…

« milieu de [MM'] », « symétrique par rapport à un point »	Symétrie centrale : M' = 2I − M.
« symétrique par rapport à une droite »	Symétrie orthogonale : la droite est la médiatrice de [MM'].
« MM' = u », « glisse »	Translation de vecteur u.
« parallélogramme »	AB = DC : translation, ou diagonales de même milieu.
« chemin le plus court », « même côté »	Symétrique de B, puis alignement avec A.
« pont », « deux rives »	Translation du vecteur perpendiculaire aux rives.
« quel ensemble décrit M' ? »	L'image de l'ensemble décrit par M.
« cercle de centre O, rayon r »	Image : centre O', rayon r.
« construis », « problème résolu »	Analyse, construction, vérification, discussion.
« dis qui a raison »	Teste avec un calcul, puis conclus par une phrase.

Les fiches méthode

Ouvre la fiche qui correspond à ton exercice.

🔁 Trouver l'image d'un point par coordonnées

Démarche

Translation de vecteur (a ; b) : (x ; y) devient (x + a ; y + b).
Symétrie centrale de centre O : (x ; y) devient (−x ; −y). De centre I(p ; q) : (2p − x ; 2q − y).
Symétrie d'axe (Ox) : (x ; −y). Axe (Oy) : (−x ; y). Axe x = k : (2k − x ; y).
Contrôle : le milieu de [MM'] est I (centre) ou est sur l'axe.

Exemple corrigé : A(3 ; 2), axe x = 1

L'ordonnée reste 2. Abscisse : 2 × 1 − 3 = −1. A'(−1 ; 2).

❌ Ce que beaucoup fontChanger les deux signes pour une symétrie d'axe.

✅ À faireUn seul signe change pour (Ox) ou (Oy).

➡️ Reconnaître une translation

Démarche

Calcule AA' et BB'.
S'ils sont égaux, c'est une translation de ce vecteur.
Sinon, teste le milieu de [AA'] : s'il est commun à tous, c'est une symétrie centrale.

Exemple corrigé : A(1 ; 2) → (4 ; 2) et B(3 ; 1) → (6 ; 1)

AA'(3 ; 0) = BB'(3 ; 0) : translation de vecteur (3 ; 0).

⭕ Image d'un cercle ou d'une droite

Démarche

Cercle : construis l'image du centre. Le rayon ne change pas.
Droite : prends deux points, construis leurs images, relie-les.
Pour une translation ou une symétrie centrale, la droite image est parallèle à la droite de départ.

Exemple corrigé : cercle de centre (1 ; 2), rayon 3, translation (−2 ; 1)

Centre (−1 ; 3), rayon 3.

❌ Ce que beaucoup fontChanger le rayon du cercle.

✅ À faireLe rayon est toujours conservé.

🏗️ Construire une figure (problème résolu)

Démarche

Suppose la figure construite et fais un dessin à main levée.
Écris une relation vectorielle ou géométrique entre les points.
Trouve la transformation associée et construis l'image d'une droite ou d'un cercle.
Le point cherché est à l'intersection de deux lignes.
Discute : nombre de solutions, cas particuliers.

Exemple corrigé : ABCD avec C sur (L), D sur (Δ)

DC = AB : D est l'image de C par la translation de vecteur BA. D est l'intersection de (Δ) et de l'image de (L). Une seule solution.

📐 Démontrer un parallélisme ou une égalité

Démarche

Repère la transformation qui envoie un objet sur un autre.
Écris l'image de chaque point utile.
Utilise : une droite a pour image une droite parallèle, une longueur est conservée.
Conclus par une phrase complète.

Exemple corrigé : D symétrique de A par rapport au milieu I de [BC]

La symétrie de centre I envoie A sur D et B sur C : (AB) a pour image (DC), donc (AB) ∥ (DC) et AB = DC. ABDC est un parallélogramme.

🔍 Trouver un ensemble de points

Démarche

Repère le point M qui bouge et la figure qu'il décrit (droite ou cercle).
Repère la transformation qui envoie M sur M'.
M' décrit l'image de la figure.
Donne le centre et le rayon (cercle) ou une équation (droite).

Exemple corrigé : M sur le cercle de centre O et de rayon 2, MP = (3 ; 1)

P décrit le cercle de centre (3 ; 1) et de rayon 2.

✏️ Équation de l'image d'une droite

Démarche

Note M(x ; y) et M'(x' ; y').
Exprime x et y en fonction de x' et y'.
Remplace dans l'équation de départ et simplifie.
Contrôle avec un point de la droite de départ.

Exemple corrigé : y = 2x + 1, translation (2 ; 3)

x = x' − 2, y = y' − 3. Donc y' − 3 = 2(x' − 2) + 1, soit y' = 2x'.

🚰 Le chemin le plus court

Démarche

Construis le symétrique B' de B par rapport à la rivière.
Écris que MB = MB'.
Trace la droite (AB') : elle coupe la rivière en M.
La longueur minimale est AB'.

Exemple corrigé : A(1 ; 3), B(7 ; 2), rivière (Ox)

B'(7 ; −2). (AB') : 5x + 6y = 23. M(4,6 ; 0). AB' = √61 ≈ 7,81.

❌ Ce que beaucoup fontChoisir le milieu des pieds des perpendiculaires.

✅ À faireLe bon point est aligné avec A et B'.

🌉 Un pont entre deux rives

Démarche

Translate A du vecteur du pont (perpendiculaire aux rives).
La translation conserve les distances : AP = A'Q.
Le trajet est A'Q + QB, minimal quand Q est sur [A'B].
Ajoute la longueur du pont au total.

Exemple corrigé : rives y = 2 et y = 4, A(0 ; 0), B(8 ; 7)

A'(0 ; 2). Q(3,2 ; 4). Trajet minimal : √89 + 2 ≈ 11,43.

⚖️ Parallélogramme et milieux

Démarche

ABCD parallélogramme ⇔ AB = DC ⇔ diagonales de même milieu.
La symétrie de centre O (milieu des diagonales) envoie A sur C et B sur D.
Elle envoie le milieu de [AB] sur le milieu de [CD].

Exemple corrigé

I milieu de [AB], J milieu de [CD] : O est le milieu de [IJ], donc IBJD est un parallélogramme.

🎯 Réussir une situation complexe

Démarche

Comprendre : qui dit quoi ? Quelle figure ou quel ensemble est en jeu ?
Choisir la transformation adaptée.
Calculer les images avec les coordonnées.
Vérifier avec une propriété de conservation.
Conclure : qui a raison, avec une phrase et les unités.

Astuce. Les trois critères : interprétation de la situation, bons outils, réponse cohérente. Teste toujours l'affirmation d'un personnage avec un calcul.

Les 12 erreurs de copie à éviter

Relis-les avant chaque devoir.

❌Dire « d'après la symétrie » sans préciser le centre ou l'axe

✅Écrire quelle transformation, quels points sont envoyés sur quels points

❌Changer le rayon d'un cercle en prenant son image

✅Le rayon est toujours conservé, seul le centre change

❌Changer les deux signes pour une symétrie d'axe (Ox)

✅Un seul signe change : (x ; −y)

❌Confondre MM' = u avec M'M = u

✅L'image M' est au bout du vecteur : MM' = u

❌Oublier que le centre d'une symétrie centrale est le milieu de [MM']

✅I est le milieu : 2I − M donne M'

❌Utiliser la translation de vecteur AB au lieu de BA

✅Écris d'abord la relation de départ (DC = AB), puis déduis le sens

❌Chercher l'image du cercle sans donner son centre

✅Donne le centre (image de O) et le rayon

❌Conclure sans discuter le nombre de solutions

✅Écris : une solution, deux solutions ou aucune, et pourquoi

❌Placer M au milieu des pieds des perpendiculaires (chemin le plus court)

✅M est sur la droite (AB') où B' est le symétrique de B

❌Se contenter d'un dessin comme preuve

✅Un dessin aide, mais la preuve utilise un calcul ou une propriété

❌Dire que deux cercles de même rayon se coupent sans comparer la distance des centres

✅Compare la distance des centres à 2r

❌Ne pas dire qui a raison

✅Une phrase de conclusion claire, avec les unités

📖 Cours

8 sections courtes. Appuie sur 🎧 pour écouter chaque section expliquée à voix haute.

1Ce qu'on garde du collège

🎧 Écouter

Une histoire pour commencer : les figures de Sierpinski Un élève cherche sur Internet des figures très harmonieuses, inspirées du mathématicien Sierpinski. Il remarque que ces dessins sont faits d'un petit motif qui se recopie, tantôt glissé, tantôt retourné. Il affirme : « cette harmonie vient des symétries et des translations ». Dans cette leçon, on les utilise pour trois choses : construire des figures, démontrer des propriétés et trouver des ensembles de points.

Trois transformations sont déjà connues. Chacune envoie un point M sur un point M', appelé son image.

Symétrie centrale de centre I : I est le milieu de [MM']. Le symétrique de M(x ; y) par rapport à l'origine est (−x ; −y).
Symétrie orthogonale d'axe (d) : (d) est la médiatrice de [MM']. Un point de (d) reste à sa place. Pour l'axe (Ox) : (x ; y) devient (x ; −y).
Translation : on fait glisser tout le plan d'un même vecteur (section suivante).

Ce que ces transformations conservent Les distances, les angles, l'alignement, le parallélisme, les milieux. Une figure et son image ont donc la même forme et la même taille.

Vérifie-toi

Quel est le symétrique de A(2 ; −3) par rapport à l'origine ?

(−2 ; 3). On change les deux signes.

2La translation et sa propriété caractéristique

🎧 Écouter

Définition. Soit u un vecteur. La translation de vecteur u est la transformation qui, à tout point M, associe le point M' tel que :

MM' = u

Tous les points glissent du même vecteur. En coordonnées, si u(a ; b), alors M(x ; y) a pour image M'(x + a ; y + b).

Propriété caractéristique Une transformation est une translation si et seulement si, pour tous points M et N d'images M' et N', on a M'N' = MN. Autrement dit, elle conserve les vecteurs. Si M' est l'image de M, alors MM'N'N est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Exemple : u(3 ; −1), A(2 ; 5). A'(2 + 3 ; 5 − 1) = (5 ; 4). Pour retrouver le point de départ d'une image, on retranche le vecteur.

Attention Une translation de vecteur non nul n'a aucun point invariant. Une symétrie centrale en a un seul (son centre). Une symétrie orthogonale en a une infinité (tous les points de l'axe).

Vérifie-toi

t est la translation de vecteur (−2 ; 4). Quelle est l'image de (1 ; 1) ?

(1 − 2 ; 1 + 4) = (−1 ; 5).

3Images de figures

🎧 Écouter

Comme ces transformations conservent les distances et l'alignement, on peut trouver l'image d'une figure en construisant l'image de quelques points seulement.

Images usuelles

Un segment [AB] a pour image le segment [A'B'], de même longueur.
Une droite a pour image une droite. Pour une translation ou une symétrie centrale, cette droite est parallèle à la droite de départ.
Un cercle de centre O et de rayon r a pour image le cercle de même rayon r et de centre O', image de O.
Un triangle a pour image un triangle superposable (mêmes longueurs, mêmes angles).

Exemple. Le cercle de centre (1 ; 2) et de rayon 3, par la translation de vecteur (−2 ; 1), devient le cercle de centre (−1 ; 3) et de rayon 3.

Cas particulier Si le vecteur de la translation a la direction de la droite, la droite est envoyée sur elle-même. Une droite qui passe par le centre d'une symétrie centrale est aussi envoyée sur elle-même.

Vérifie-toi

Quel est le rayon de l'image d'un cercle de rayon 5 par une symétrie orthogonale ?

5. Le rayon est toujours conservé.

4Construire une figure

🎧 Écouter

La méthode : « on suppose le problème résolu ».

Analyse : fais comme si la figure existait. Cherche une relation entre les points (un vecteur égal, un milieu, une médiatrice).
Repère la transformation qui exprime cette relation.
Construis l'image de la droite ou du cercle donné : le point cherché est à l'intersection de deux lignes.
Vérifie et discute : combien y a-t-il de solutions ? Y a-t-il des cas particuliers ?

L'exemple du programme. On donne deux points A et B, et deux droites sécantes (L) et (Δ). On cherche un parallélogramme ABCD avec C sur (L) et D sur (Δ).
Analyse. DC = AB, donc CD = BA : D est l'image de C par la translation de vecteur BA.
Construction. On construit l'image de (L) par cette translation : c'est une droite parallèle à (L). Elle coupe (Δ) en D. On obtient C en revenant de D avec AB.
Discussion. L'image de (L) est parallèle à (L), donc elle est sécante à (Δ) : il y a exactement une seule solution.

Vérifie-toi

Dans ABCD parallélogramme, quel vecteur est égal à DC ?

AB. Les côtés opposés [AB] et [DC] sont parallèles, de même longueur, de même sens.

5Démontrer avec une transformation

🎧 Écouter

Une transformation est un outil de démonstration : puisqu'elle conserve les distances, les angles, l'alignement et le parallélisme, on peut s'en servir pour prouver qu'une longueur est égale à une autre, que deux droites sont parallèles, que trois points sont alignés ou qu'un point est un milieu.

Repère la transformation qui envoie un objet sur un autre.
Écris où vont les points importants (A sur D, B sur C…).
Applique la propriété de conservation utile.
Conclus par une phrase.

Exemple. ABC est un triangle, I est le milieu de [BC] et D est le symétrique de A par rapport à I. La symétrie de centre I envoie A sur D et B sur C. Donc la droite (AB) a pour image (DC) : elles sont parallèles. Et AB = DC. De même (AC) ∥ (DB). ABDC est un parallélogramme.

Piège Dire « d'après la symétrie » ne suffit pas. Il faut préciser laquelle (son centre ou son axe) et quels points elle envoie sur quels points.

Vérifie-toi

I est le milieu de [AD] et de [BC]. Que peut-on dire de ABDC ?

C'est un parallélogramme : ses diagonales ont le même milieu.

6Trouver un ensemble de points

🎧 Écouter

Quand un point M se déplace sur une droite ou un cercle, que fait son image M' ? C'est la même question que pour l'image d'une figure : M' décrit l'image de l'ensemble décrit par M.

La méthode

Si M décrit une droite (d), M' décrit la droite image (parallèle à (d) pour une translation ou une symétrie centrale).
Si M décrit un cercle de centre O et de rayon r, M' décrit le cercle de rayon r et de centre l'image de O.

Exemple. M décrit le cercle (C) de centre O et de rayon 2. P est tel que MP = u(3 ; 1) : P décrit le cercle de centre O1(3 ; 1) et de rayon 2. Q est le symétrique de M par rapport à I(4 ; 0) : Q décrit le cercle de centre O2(8 ; 0) et de rayon 2.

Deux cercles de même rayon r sont disjoints quand la distance de leurs centres est plus grande que 2r. Ici O1O2 = √26 ≈ 5,1 est plus grand que 4 : P et Q ne se rencontrent jamais.

Piège N'oublie pas de donner à la fin le centre et le rayon, ou l'équation de la droite. « Un cercle » tout seul ne suffit pas.

Vérifie-toi

M décrit un cercle de centre O. M' est l'image de M par la translation de vecteur u. Quel est le centre du cercle décrit par M' ?

Le point O', image de O par la translation de vecteur u.

7Le chemin le plus court

🎧 Écouter

Un grand classique : deux villages A et B sont du même côté d'une rivière. Où placer le point de pompage M sur la rive pour que le total AM + MB soit le plus petit possible ?

Construis B', le symétrique de B par rapport à la rivière.
Comme la rivière est la médiatrice de [BB'], on a MB = MB' pour tout point M de la rive.
Donc AM + MB = AM + MB'. Cette somme est la plus petite quand A, M et B' sont alignés.
M est l'intersection de (AB') et de la rivière.

Avec une translation : le pont. Deux rives parallèles sont séparées par un pont perpendiculaire. On translate A du vecteur du pont pour obtenir A' : le pont « disparaît » du trajet, et il reste à relier A' à B en ligne droite.

Piège Le milieu des deux pieds des perpendiculaires n'est pas le bon point. C'est le point aligné avec A et B' qui donne le chemin le plus court.

Vérifie-toi

A et B sont du même côté d'une rivière (d). B' est le symétrique de B. Que vaut AM + MB quand M est bien placé ?

AB'. Le chemin le plus court est le segment [AB'].

8Traiter une situation

🎧 Écouter

Une situation complexe raconte une histoire (un pagne, un fleuve, des drones) et finit par « dis qui a raison ». Tu es noté sur trois critères : as-tu compris la situation, as-tu utilisé les bons outils, ta réponse est-elle cohérente.

Comprendre : qui dit quoi ? Quelle figure ou quel ensemble est en jeu ?
Choisir la transformation : translation, symétrie centrale ou symétrie orthogonale.
Calculer les images avec les coordonnées, ou construire la figure.
Vérifier la propriété de conservation utile : distances, parallélisme, alignement.
Conclure par une phrase, avec les unités, en disant qui a raison.

Un motif de pagne. Le motif T0 est un triangle isocèle. Son image par la translation de vecteur (3 ; 0) et son image par la symétrie d'axe x = 2,5 sont le même triangle : les deux élèves ont raison, car T0 est lui-même symétrique par rapport à x = 1.

À retenir Un dessin ne remplace pas un calcul. Teste toujours une affirmation avec les coordonnées : un seul contre-exemple suffit pour montrer qu'elle est fausse, mais pour la montrer vraie il faut une démonstration.

Vérifie-toi

Un seul calcul qui donne un résultat différent suffit-il à prouver qu'une affirmation est fausse ?

Oui. Un contre-exemple suffit pour montrer qu'une affirmation générale est fausse.

Symétries et translations

🧭 Savoir-faire

Les 5 temps d'un exercice

Si tu vois… pense à…

Les fiches méthode

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Les 12 erreurs de copie à éviter

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1Ce qu'on garde du collège

2La translation et sa propriété caractéristique

3Images de figures

4Construire une figure

5Démontrer avec une transformation

6Trouver un ensemble de points

7Le chemin le plus court

8Traiter une situation

❓ Quiz

?QCM de la leçon

✏️ Exercices

✎Exercices corrigés

🎯 Vers le DS