Leçon 5 : Vecteurs et points du plan

🧭 Savoir-faire

Comment réussir un exercice de vecteurs : calculer, démontrer un alignement ou un parallélisme, écrire une équation de droite, et éviter les erreurs qui coûtent des points.

Les 5 temps d'un exercice

Coche chaque temps en appuyant dessus.

1ComprendreLis l'énoncé. Quels sont les points, les vecteurs, les forces ? Qu'est-ce qu'on te demande de montrer ?
2TraduireÉcris les coordonnées de chaque point. Calcule les vecteurs utiles : arrivée moins départ.
3Choisir l'outilNorme, déterminant, équation de droite, milieu, centre de gravité.
4CalculerUn calcul par ligne, avec des parenthèses pour les nombres négatifs.
5ConclureUne phrase qui répond à la question, avec les unités. Vérifie que ta réponse est cohérente.

Si tu vois… pense à…

« alignés », « sur une même droite »	det(AB, AC) = 0 ou AC = kAB.
« parallèles »	det(AB, CD) = 0.
« parallélogramme »	AB = DC : mêmes coordonnées.
« milieu »	La moyenne des coordonnées.
« distance », « longueur », « norme »	√(x² + y²) avec les coordonnées du vecteur.
« centre de gravité »	La moyenne des coordonnées des trois sommets.
« équation de la droite (AB) »	det(AM, AB) = 0.
« base », « repère »	det ≠ 0.
« force », « résultante »	Somme de vecteurs, puis norme.
« dis qui a raison »	Teste l'affirmation avec un calcul, puis conclus par une phrase.

Les fiches méthode

Ouvre la fiche qui correspond à ton exercice.

✂️ Simplifier une expression vectorielle

Démarche

Remplace les soustractions : − CB devient BC.
Réordonne les termes pour que la fin de chaque vecteur soit le début du suivant.
Enchaîne avec la relation de Chasles : AB + BC = AC.
Si tu reviens au point de départ, le résultat est le vecteur nul.

Exemple corrigé : AB − CB + CD

− CB = BC. On a AB + BC + CD = AC + CD = AD.

❌ Ce que beaucoup fontÉcrire AB + BC = AB + BC avec des longueurs.

✅ À faireChasles ne s'applique qu'aux vecteurs.

🧮 Coordonnées, norme et milieu

Démarche

Coordonnées de AB : (xB − xA ; yB − yA), arrivée moins départ.
Norme : √(x² + y²) avec les coordonnées du vecteur.
Milieu de [AB] : moyenne des abscisses, moyenne des ordonnées.

Exemple corrigé : A(−1 ; 2) et B(2 ; −2)

AB(3 ; −4). AB = √(9 + 16) = 5. Milieu : (0,5 ; 0).

Astuce. Mets les nombres négatifs entre parenthèses pour ne pas te tromper de signe.

➕ Combinaison linéaire en coordonnées

Démarche

Multiplie chaque coordonnée par le réel.
Additionne les abscisses entre elles, les ordonnées entre elles.
Vérifie le signe quand tu soustrais.

Exemple corrigé : u(2 ; −1), v(−3 ; 4), 2u + 3v

2u(4 ; −2), 3v(−9 ; 12), donc 2u + 3v = (−5 ; 10).

🎯 Le déterminant et la colinéarité

Démarche

Écris les deux vecteurs : u(x ; y) et v(x' ; y').
Calcule x y' − x' y, en croix.
Si le résultat est 0 : colinéaires. Sinon : non colinéaires (et c'est une base).

Exemple corrigé : u(2 ; 3), v(4 ; 6)

2 × 6 − 4 × 3 = 0 : colinéaires.

❌ Ce que beaucoup fontCalculer xx' − yy'.

✅ À faireToujours x y' − x' y.

📏 Démontrer que trois points sont alignés

Démarche

Calcule AB et AC, deux vecteurs qui partent du même point.
Calcule leur déterminant (ou cherche k avec AC = kAB).
S'il est nul, conclus par une phrase : « AB et AC sont colinéaires, donc A, B, C sont alignés ».

Exemple corrigé : A(1 ; 1), B(3 ; 2), C(7 ; 4)

AB(2 ; 1), AC(6 ; 3). det = 6 − 6 = 0. Les points sont alignés.

❌ Ce que beaucoup fontComparer AB et CD pour dire que A, B, C sont alignés.

✅ À faireMême point de départ : AB et AC.

∥ Démontrer que deux droites sont parallèles

Démarche

Calcule un vecteur directeur de chaque droite : AB et CD, ou (−b ; a) avec l'équation.
Calcule leur déterminant.
S'il est nul, les droites sont parallèles (ou confondues : vérifie si besoin).

Exemple corrigé : (AB) avec AB(3 ; 2) et (DE) avec DE(6 ; 4)

3 × 4 − 6 × 2 = 0 : (AB) et (DE) sont parallèles.

📐 Équation cartésienne d'une droite

Démarche

Prends un point A de la droite et un vecteur directeur u (pour (AB), c'est AB).
Pose M(x ; y) et calcule AM.
Écris det(AM, u) = 0 et développe.
Simplifie, puis vérifie avec les points donnés.

Exemple corrigé : A(2 ; −1), u(1 ; 2)

(x − 2) × 2 − (y + 1) × 1 = 0, donc 2x − y − 5 = 0. Contrôle : 4 + 1 − 5 = 0 ✓.

❌ Ce que beaucoup fontDire que le vecteur directeur de ax + by + c = 0 est (a ; b).

✅ À faireC'est (−b ; a).

✏️ Tracer une droite

Démarche

Avec une équation : x = 0 donne un point, y = 0 en donne un autre.
Avec un point A et un vecteur directeur u : place A, puis avance de u pour trouver un deuxième point.
Relie avec une règle et prolonge.

Astuce. Vérifie un troisième point : il doit être sur la droite.

🧩 Décomposer un vecteur

Démarche

Vérifie que (a, b) est une base : det(a, b) ≠ 0.
Écris u = αa + βb en coordonnées : deux équations.
Résous le système (addition ou substitution).
Contrôle en recalculant αa + βb.

Exemple corrigé : u(7 ; −1), a(2 ; 1), b(1 ; −1)

2α + β = 7 et α − β = −1. En ajoutant : 3α = 6, α = 2, β = 3. u = 2a + 3b.

▱ Parallélogramme et point manquant

Démarche

ABCD est un parallélogramme si AB = DC.
Pose D(x ; y) et écris les coordonnées de DC.
Égalise avec celles de AB : tu trouves x et y.
Contrôle : les milieux de [AC] et [BD] sont les mêmes.

Exemple corrigé : A(−1 ; 1), B(2 ; 3), C(5 ; 2)

AB(3 ; 2) = DC(5 − x ; 2 − y). x = 2, y = 0 : D(2 ; 0).

⚖️ Mesure algébrique et centre de gravité

Démarche

Sur une droite orientée : AB = b − a (arrivée moins départ).
Chasles : AB + BC = AC.
Centre de gravité G : moyenne des coordonnées des trois sommets.

Exemple corrigé : A(0 ; 0), B(6 ; 0), H(0 ; 9)

G((0 + 6 + 0)/3 ; (0 + 0 + 9)/3) = (2 ; 3).

🎯 Réussir une situation complexe

Démarche

Comprendre : qui dit quoi ? Note les données.
Traduire : place un repère, écris les coordonnées des points ou des forces.
Choisir l'outil : norme, déterminant, équation de droite, milieu, centre de gravité.
Calculer proprement.
Conclure : réponds à la question, dis qui a raison, avec une phrase et les unités.

Astuce. Les trois critères de notation : interprétation de la situation, bons outils, réponse cohérente. Une phrase de conclusion rapporte souvent des points.

Les 12 erreurs de copie à éviter

Relis-les avant chaque devoir.

❌Confondre AB et BA

✅BA = −AB : le sens compte

❌Coordonnées de AB en faisant départ − arrivée

✅Arrivée moins départ : (xB − xA ; yB − yA)

❌Écrire AB + BC = AC avec des longueurs

✅Chasles marche pour les vecteurs, pas pour les longueurs

❌Oublier la racine carrée : ‖(3 ; 4)‖ = 25

✅√(9 + 16) = 5

❌Déterminant : xx' − yy'

✅x y' − x' y, en croix

❌Comparer AB et CD pour montrer que A, B, C sont alignés

✅AB et AC, même point de départ

❌Conclure sans phrase (« donc 0 »)

✅Écrire : « det = 0, donc colinéaires, donc alignés »

❌Prendre (a ; b) comme vecteur directeur de ax + by + c = 0

✅C'est (−b ; a)

❌Donner une équation sans la vérifier

✅Remplace les points connus dans l'équation

❌Se tromper de signe avec un nombre négatif

✅Mets les parenthèses : x − (−3) = x + 3

❌Écrire « AB = (3 ; 4) » pour une distance

✅Le vecteur a des coordonnées, la distance est un nombre : 5

❌Oublier l'unité ou ne pas dire qui a raison

✅Une phrase de conclusion avec l'unité (m, kN…)

📖 Cours

8 sections courtes. Appuie sur 🎧 pour écouter chaque section expliquée à voix haute.

1Le vecteur : direction, sens, longueur

🎧 Écouter

Une histoire pour commencer : le jeu de Grand-Bassam Au lycée moderne de Grand-Bassam, deux élèves jouent en équipe. Le premier a une figure avec les points A, B, C, P et Q. Le second a seulement A, B et C. Le premier doit expliquer au second comment placer P et Q, mais il n'a le droit de parler que des flèches AB et AC. Comment faire ? Il va dire par exemple : « pour aller de A à P, fais deux fois la flèche AB, puis ajoute une fois la flèche AC ». Cette flèche, c'est un vecteur.

Définition. Un vecteur AB est une flèche qui va du point A (l'origine) au point B (l'extrémité). Il est décrit par trois informations :

sa direction : celle de la droite (AB) ;
son sens : de A vers B ;
sa norme : la longueur AB, notée ‖⁠AB⁠‖.

On peut aussi nommer un vecteur par une lettre minuscule : u, v, w.

À retenir

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme. AB = DC signifie que ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Le vecteur BA est l'opposé de AB : BA = −AB.
Un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1.
Si on te donne un point O et un vecteur u, il existe un seul point M tel que OM = u.

Lien avec la physique. Une force est représentée par un vecteur : sa direction, son sens et sa norme (l'intensité, en newtons). C'est pour cela que deux remorqueurs qui tirent un bateau s'étudient avec des vecteurs.

Vérifie-toi

ABCD est un parallélogramme. Quel vecteur est égal à AB ?

DC. Les côtés opposés [AB] et [DC] ont même direction, même sens et même longueur.

2Calcul vectoriel : somme, multiple, Chasles

🎧 Écouter

La somme. Pour ajouter deux vecteurs, on les met bout à bout. C'est la relation de Chasles :

AB + BC = AC

Le point du milieu (ici B) disparaît. Avec un parallélogramme ABCD, on a aussi la règle du parallélogramme : AB + AD = AC.

Le multiple. Si k est un réel, ku est un vecteur de même direction que u. Il a le même sens si k > 0, le sens contraire si k < 0, et sa norme est |k| × ‖⁠u⁠‖. Par exemple 2u est deux fois plus long, et −u est l'opposé de u.

Règles de calcul

AB + BA = 0 (le vecteur nul) et −CB = BC.
k(u + v) = ku + kv et (k + k')u = ku + k'u.
ku = 0 seulement si k = 0 ou si u est le vecteur nul.

Exemple : simplifier AB + CD − CB + DA. On remplace −CB par BC, puis on réordonne : AB + BC + CD + DA. On enchaîne : A → B → C → D → A. On revient au départ, le résultat est le vecteur nul.

Attention Chasles marche pour les vecteurs, pas pour les longueurs. AB + BC = AC est toujours vrai, mais AB + BC = AC n'est vrai que si B est sur le segment [AC].

Vérifie-toi

Simplifie AM + MB.

AB, par la relation de Chasles.

3Combinaison linéaire et colinéarité

🎧 Écouter

Combinaison linéaire. Une combinaison linéaire de deux vecteurs u et v est un vecteur de la forme αu + βv, où α et β sont des réels. C'est exactement ce que le premier élève dit à son camarade dans le jeu de Grand-Bassam.

Placer P et Q. Si AP = 2AB + AC, on part de A, on fait deux fois la flèche AB, puis une fois la flèche AC. Si AQ = AB − AC, on fait la flèche AB, puis la flèche opposée à AC.

Vecteurs colinéaires. Deux vecteurs u et v sont colinéaires s'ils ont la même direction, c'est-à-dire s'il existe un réel k tel que v = ku (ou u = kv). Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.

À retenir : deux grandes applications

Alignement. A, B, C sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires. Par exemple AC = 3AB.
Parallélisme. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si AB et CD sont colinéaires.

Piège Pour l'alignement, on compare deux vecteurs qui ont le même point de départ : AB et AC. Comparer AB et CD ne dit rien sur l'alignement de A, B, C.

Décomposer un vecteur. Si a et b ne sont pas colinéaires, on peut écrire tout vecteur u sous la forme u = αa + βb. Sur un dessin, on trace deux parallèles aux directions de a et de b.

Vérifie-toi

AC = −2AB. Les points A, B, C sont-ils alignés ?

Oui. AC et AB sont colinéaires et ont le point A en commun.

4Base, repère et coordonnées

🎧 Écouter

Base orthonormée. Une base du plan est un couple (i, j) de deux vecteurs non colinéaires. Elle est orthonormée si i et j sont unitaires et perpendiculaires. Un repère (O, i, j) est un point O avec une base (i, j).

Propriété fondamentale. Tout vecteur u s'écrit de façon unique u = x i + y j. Le couple (x ; y) est le couple des coordonnées de u.

Les formules à connaître

AB(xB − xA ; yB − yA) : arrivée moins départ.
u(x ; y) + v(x' ; y') = (x + x' ; y + y') et k u = (kx ; ky).
Dans une base orthonormée, ‖⁠u⁠‖ = √(x² + y²), donc AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²).
Le milieu de [AB] a pour coordonnées ((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2).

Exemple : A(1 ; 2) et B(4 ; 6). AB(4 − 1 ; 6 − 2) = (3 ; 4). AB = √(3² + 4²) = √25 = 5. Le milieu de [AB] est (2,5 ; 4).

Piège Ne calcule pas « départ moins arrivée ». Et n'oublie pas la racine carrée : la norme de (3 ; 4) est 5, pas 25.

Vérifie-toi

Quelles sont les coordonnées de AB avec A(−2 ; 3) et B(1 ; −1) ?

(1 − (−2) ; −1 − 3) = (3 ; −4).

5Le déterminant

🎧 Écouter

Définition. Le déterminant de deux vecteurs u(x ; y) et v(x' ; y') est le nombre :

det(u, v) = x y' − x' y

On multiplie en croix : la diagonale « x et y' » moins la diagonale « x' et y ».

Le résultat essentiel

u et v sont colinéaires si et seulement si det(u, v) = 0.
(u, v) est une base du plan si et seulement si det(u, v) ≠ 0.

Exemples.

u(2 ; 3) et v(4 ; 6) : det = 2 × 6 − 4 × 3 = 0. Colinéaires.
u(1 ; 2) et v(3 ; 5) : det = 1 × 5 − 3 × 2 = −1. Pas colinéaires, c'est une base.

Alignement avec le déterminant. A(1 ; 1), B(3 ; 2), C(7 ; 4). AB(2 ; 1) et AC(6 ; 3). det = 2 × 3 − 6 × 1 = 0 : A, B, C sont alignés.

Piège Ce n'est ni xx' − yy', ni xx' + yy'. C'est bien x y' − x' y. Et si on échange u et v, le signe change (mais « zéro » reste « zéro »).

Vérifie-toi

u(3 ; 6) et v(1 ; 2) sont-ils colinéaires ?

det = 3 × 2 − 1 × 6 = 0. Oui (u = 3v).

6Équation cartésienne d'une droite

🎧 Écouter

Une droite est déterminée par un point A et un vecteur directeur u (un vecteur non nul qui a la direction de la droite). Un point M(x ; y) est sur la droite si et seulement si AM et u sont colinéaires, c'est-à-dire :

det(AM, u) = 0

En développant, on obtient une équation de la forme ax + by + c = 0, appelée équation cartésienne. Un vecteur directeur est alors (−b ; a).

Exemple : A(1 ; 2) et u(3 ; 1). AM(x − 1 ; y − 2). det(AM, u) = (x − 1) × 1 − (y − 2) × 3 = x − 3y + 5. L'équation est x − 3y + 5 = 0. Contrôle avec A : 1 − 6 + 5 = 0 ✓.

À retenir

Tracer : cherche deux points (x = 0, puis y = 0), ou pars de A et avance de u.
Droite (AB) : prends u = AB comme vecteur directeur.
Parallèles : deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, donc si les coefficients de x et y sont proportionnels.

Piège Pour ax + by + c = 0, le vecteur directeur est (−b ; a), pas (a ; b). Et vérifie toujours ton équation avec les points donnés.

Vérifie-toi

Donne un vecteur directeur de 2x + 5y − 1 = 0.

(−5 ; 2), car (−b ; a) avec a = 2 et b = 5.

7Mesure algébrique sur une droite

🎧 Écouter

Sur une droite munie d'un vecteur unitaire e (on dit qu'elle est orientée), tout vecteur AB avec A et B sur la droite s'écrit AB = k e. Le réel k est la mesure algébrique du couple (A ; B), notée AB.

Propriétés

Le signe dit le sens : positif si AB a le sens de e, négatif sinon. La valeur absolue donne la longueur AB.
BA = −AB et AB = 0 si et seulement si A = B.
Chasles : AB + BC = AC.
Si A et B ont pour abscisses a et b : AB = b − a.

Exemple. A d'abscisse −2 et B d'abscisse 5. AB = 5 − (−2) = 7. BA = −7. La longueur AB vaut 7. Le milieu I de [AB] a pour abscisse (−2 + 5)/2 = 1,5.

Piège Une longueur est toujours positive, une mesure algébrique peut être négative. AB = b − a (arrivée moins départ), pas a − b.

Vérifie-toi

A a pour abscisse 4 et B a pour abscisse −1. Que vaut AB ?

−1 − 4 = −5. La longueur AB vaut 5.

8Traiter une situation : le centre de gravité

🎧 Écouter

Le centre de gravité d'un triangle ABC est le point G tel que :

GA + GB + GC = 0

C'est le point où l'on pourrait poser le triangle en équilibre sur une pointe d'épingle. Il se trouve sur les trois médianes.

Pourquoi AG = (1/3)(AB + AC) ? GA + GB + GC = 0. Avec Chasles : GB = GA + AB et GC = GA + AC. Donc 3GA + AB + AC = 0, soit AG = (1/3)(AB + AC).

À retenir

Coordonnées de G : la moyenne des coordonnées des trois sommets, G((xA + xB + xC)/3 ; (yA + yB + yC)/3).
Si I est le milieu de [BC], alors AG = (2/3)AI : G est aux deux tiers de la médiane en partant du sommet.

Un terrain. A(0 ; 0), B(6 ; 0), C(3 ; 9). G(3 ; 3). I, milieu de [BC], vaut (4,5 ; 4,5). AG(3 ; 3), AI(4,5 ; 4,5) : det = 3 × 4,5 − 4,5 × 3 = 0. A, G, I sont alignés.

Méthode pour une situation complexe. Place un repère, traduis chaque donnée en coordonnées, choisis l'outil (norme, déterminant, équation de droite), calcule, puis conclus par une phrase avec les unités. Tu seras noté sur trois critères : as-tu compris la situation, as-tu utilisé les bons outils, ta réponse est-elle cohérente.

Vérifie-toi

Quel est le centre de gravité du triangle A(0 ; 0), B(3 ; 0), C(0 ; 6) ?

((0 + 3 + 0)/3 ; (0 + 0 + 6)/3) = (1 ; 2).

Vecteurs et points du plan

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Les 5 temps d'un exercice

Si tu vois… pense à…

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Les 12 erreurs de copie à éviter

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1Le vecteur : direction, sens, longueur

2Calcul vectoriel : somme, multiple, Chasles

3Combinaison linéaire et colinéarité

4Base, repère et coordonnées

5Le déterminant

6Équation cartésienne d'une droite

7Mesure algébrique sur une droite

8Traiter une situation : le centre de gravité

❓ Quiz

?QCM de la leçon

✏️ Exercices

✎Exercices corrigés

🎯 Vers le DS