Leçon 4 : Inéquations dans ℝ × ℝ

🧭 Savoir-faire

Comment traiter une inéquation à deux inconnues, tracer une zone, trouver le meilleur choix, et éviter les erreurs qui coûtent des points.

Les 5 temps d'un exercice

Coche chaque temps en appuyant dessus.

1ComprendreLis l'énoncé. Qu'est-ce que x ? Qu'est-ce que y ? Y a-t-il quelque chose à maximiser ou minimiser ?
2TraduireUne condition de l'énoncé, une inéquation. N'oublie pas x ≥ 0 et y ≥ 0.
3DessinerTrace chaque droite, teste un point, colorie la zone commune.
4CalculerSommets par un petit système, puis F en chaque sommet.
5ConclureRéponds par une phrase avec les unités. Vérifie les contraintes (entiers, positifs).

Si tu vois… pense à…

« au moins », « minimum »	Inégalité ≥.
« au plus », « pas plus de », « budget »	Inégalité ≤.
« plus de … que de … »	Inégalité stricte : x > y.
« au total », « en tout »	Une égalité : x + y = nombre.
« Est-ce que (3 ; 2) convient ? »	Remplace x par 3 et y par 2 dans chaque inéquation.
Tracer ax + by ≤ c	Droite, point test, côté solution.
Droite qui passe par O	Point test (1 ; 0) ou (0 ; 1), pas O.
« Combien de possibilités ? »	Couples entiers dans la zone : compte-les (ou utilise une droite en plus).
« Maximiser », « bénéfice maximal »	Sommets, puis F en chaque sommet, le plus grand gagne.
« Minimiser », « coût minimal »	Sommets, puis F en chaque sommet, le plus petit gagne.

Les fiches méthode

Ouvre la fiche qui correspond à ton exercice.

✔️ Vérifier si un couple est solution

Démarche

Remplace x et y par les valeurs du couple, dans chaque inéquation.
Calcule avec soin, les nombres négatifs entre parenthèses.
Le couple est solution du système si toutes les inégalités sont vraies.

Exemple corrigé : (4 ; 8) pour x ≥ 2, y > x, 2x + y ≤ 20

4 ≥ 2 ✓. 8 > 4 ✓. 2 × 4 + 8 = 16 ≤ 20 ✓. Les trois sont vraies : le couple est solution.

📐 Tracer une droite ax + by = c

Démarche

Cherche deux points : x = 0 donne y = c/b, et y = 0 donne x = c/a.
Place les deux points dans le repère.
Relie-les avec une règle et prolonge.

Exemple corrigé : 2x + y = 4

x = 0 donne y = 4, point (0 ; 4). y = 0 donne x = 2, point (2 ; 0). On trace la droite qui passe par ces deux points.

Astuce. x = 3 est une droite verticale, y = 2 une droite horizontale. Pas besoin de deux points.

🎨 Représenter un demi-plan

Démarche

Trace la droite frontière.
Prends un point test hors de la droite : O(0 ; 0) si la droite n'y passe pas, sinon (1 ; 0) ou (0 ; 1).
Teste-le dans l'inéquation.
Vrai : colorie son côté. Faux : colorie l'autre côté.
Trait plein pour ≤ ou ≥, pointillés pour < ou >.

Exemple corrigé : x + y > 4

Droite x + y = 4, en pointillés car l'inégalité est stricte. Test de O : 0 > 4 est faux. On colorie le côté opposé à l'origine.

❌ Ce que beaucoup fontTester l'origine alors que la droite passe par O : 0 = 0 ne permet pas de conclure.

✅ À faireUtiliser un autre point test, comme (1 ; 0).

🧩 Résoudre un système graphiquement

Démarche

Traite chaque inéquation comme un demi-plan.
Utilise une couleur par inéquation, ou hachure la zone à rejeter.
La zone solution est celle qui reste sans hachure (ou colorée par toutes les couleurs).
Repasse la zone solution en couleur foncée et écris « S ».

Astuce. Hachurer ce qu'on rejette est plus propre : à la fin, la zone blanche est la solution.

📝 Traduire une situation

Démarche

Écris « x = … » et « y = … » avec les unités.
Recopie l'énoncé phrase par phrase et traduis chaque condition.
Ajoute x ≥ 0 et y ≥ 0.
Si on parle d'objets, x et y sont des entiers.
Simplifie les gros nombres (divise par 1 000, par 150…).

Exemple corrigé

Romans 2 000 F, livres 3 000 F, budget de 300 000 F : 2 000x + 3 000y ≤ 300 000, soit 2x + 3y ≤ 300 en divisant par 1 000.

📍 Calculer un sommet

Démarche

Écris les équations des deux droites qui se coupent.
Résous le système (soustraction ou substitution).
Vérifie que le point trouvé vérifie les autres inéquations.

Exemple corrigé : x + y = 6 et x + 2y = 8

On soustrait : y = 2. Puis x = 4. Le sommet est (4 ; 2). Contrôle : 4 + 2 = 6 ✓ et 4 + 4 = 8 ✓.

🏆 Trouver le maximum ou le minimum

Démarche

Dessine la zone solution et liste tous les sommets.
Calcule F = ax + by en chaque sommet, dans un petit tableau.
Le plus grand nombre est le maximum, le plus petit est le minimum.
Réponds avec le couple et la valeur : « le maximum est … en (… ; …) ».

Exemple corrigé : F = 2x + 3y

Sommets (0 ; 0), (6 ; 0), (4 ; 2), (0 ; 4). Valeurs : 0, 12, 14, 12. Le maximum est 14 en (4 ; 2), le minimum est 0 en (0 ; 0).

❌ Ce que beaucoup fontCalculer F seulement au sommet qui « a l'air » le meilleur.

✅ À faireCalculer F à tous les sommets, puis comparer.

🔢 Compter les couples entiers

Démarche

Fixe une valeur de x entière, puis cherche les valeurs de y entières possibles.
Passe à la valeur suivante de x.
Additionne le nombre de couples de chaque ligne.

Exemple corrigé : x ≥ 1, y ≥ 1, x + y ≤ 4

x = 1 : y = 1, 2, 3 (3 couples). x = 2 : y = 1, 2 (2). x = 3 : y = 1 (1). Total : 6 couples.

🎯 Réussir une situation complexe

Une situation complexe raconte une histoire et finit par « dis qui a raison ». Elle est notée sur trois critères : as-tu compris la situation, as-tu utilisé les bons outils, ta réponse est-elle cohérente.

Démarche

Comprendre : qui dit quoi ? Surligne les contraintes.
Traduire : inconnues, inéquations, et la fonction à optimiser s'il y en a une.
Dessiner : la zone solution, avec les sommets.
Calculer : F aux sommets, ou les couples entiers qui conviennent.
Conclure : réponds à la question et dis qui a raison, avec une phrase et les unités.

Astuce. Teste toujours l'affirmation d'un personnage dans les inéquations : un seul contre-exemple suffit pour montrer qu'il a tort.

Les 12 erreurs de copie à éviter

Relis-les avant chaque devoir.

❌Tracer la droite en pointillés pour ≤

✅≤ et ≥ : trait plein. < et > : pointillés

❌Tester O quand la droite passe par O

✅Prendre (1 ; 0) ou (0 ; 1)

❌Colorier le mauvais côté sans tester

✅Toujours un point test

❌Oublier x ≥ 0 et y ≥ 0

✅Des quantités ne sont jamais négatives

❌Prendre l'union des demi-plans

✅Un système : l'intersection

❌Lire un sommet sur le dessin sans le calculer

✅Résous le système des deux droites

❌Garder un point d'intersection qui sort de la zone

✅Vérifie qu'il vérifie toutes les inéquations

❌Calculer F à un seul sommet

✅F à chaque sommet, puis comparer

❌Donner le maximum de F au lieu du couple

✅Donne les deux : la valeur et où elle est atteinte

❌Un sommet à coordonnées décimales pour des objets

✅Des objets : couple entier

❌« Plus de … que de … » écrit avec ≥

✅Strict : x > y

❌Oublier de convertir les F en milliers de F

✅Même unité dans toutes les inéquations

📖 Cours

8 sections courtes. Appuie sur 🎧 pour écouter chaque section expliquée à voix haute.

1Inéquations à deux inconnues

🎧 Écouter

Une histoire pour commencer : la bibliothèque du lycée Le Conseil général offre des livres à ton lycée : des romans à 2 000 F et des livres divers à 3 000 F. Les élèves veulent au moins 50 romans, au moins 18 livres, plus de romans que de livres, et pas plus de 300 000 F de dépenses. Le Conseil achète en tout 140 ouvrages. Il y a deux quantités à trouver : x romans et y livres. Une seule inconnue ne suffit plus, on travaille avec des couples (x ; y).

Définition. Une inéquation du premier degré à deux inconnues x et y s'écrit ax + by + c ≥ 0 (ou ≤, >, <) où a, b et c sont des réels, avec a et b non tous les deux nuls. Une solution est un couple (x ; y) qui rend l'inégalité vraie.

Exemple : 2x + 3y ≤ 300.

(60 ; 50) : 120 + 150 = 270 ≤ 300. C'est une solution.
(100 ; 60) : 200 + 180 = 380 > 300. Ce n'est pas une solution.

À retenir Dans un repère du plan, le couple (x ; y) est le point M de coordonnées x et y. Résoudre une inéquation dans ℝ × ℝ, c'est trouver une zone du plan.

Vérifie-toi

Le couple (3 ; 2) est-il solution de x + y ≥ 6 ?

3 + 2 = 5, et 5 n'est pas supérieur ou égal à 6. Non, ce n'est pas une solution.

2La droite frontière et ses deux demi-plans

🎧 Écouter

Théorème fondamental La droite (D) d'équation ax + by + c = 0 partage le plan en deux demi-plans. D'un côté, tous les points vérifient ax + by + c > 0. De l'autre, ils vérifient ax + by + c < 0. Les points de la droite vérifient ax + by + c = 0.

Pour savoir quel côté est solution, on prend un point test, et on regarde si ses coordonnées vérifient l'inéquation.

Exemple : 2x + y ≤ 4. La droite frontière est 2x + y = 4. Elle passe par (2 ; 0) et par (0 ; 4). On teste l'origine O(0 ; 0) : 0 ≤ 4, c'est vrai. La solution est donc le côté de l'origine, droite comprise. Le point A(3 ; 2) donne 8 > 4 : il est de l'autre côté.

Vérifie-toi

Pour 3x + 2y > 6, le côté de l'origine est-il solution ?

Pour O : 0 > 6 est faux. La solution est le côté opposé à l'origine.

3Tracer un demi-plan

🎧 Écouter

Trace la droite en cherchant deux points (par exemple en mettant x = 0, puis y = 0).
Choisis un point test qui n'est pas sur la droite : l'origine si la droite n'y passe pas, sinon (1 ; 0) ou (0 ; 1).
Teste : si ses coordonnées vérifient l'inéquation, la solution est son côté. Sinon, c'est l'autre côté.
Colorie la zone solution (ou hachure la zone à rejeter, selon la consigne de ton professeur).
Trait plein si l'inégalité est large (≤ ou ≥) : la droite fait partie des solutions. Pointillés si elle est stricte (< ou >).

Exemple : y < 2x. La droite y = 2x passe par l'origine : on ne peut pas tester O. On prend (1 ; 0) : 0 < 2, c'est vrai. La solution est le côté de (1 ; 0), c'est-à-dire sous la droite, tracée en pointillés.

Cas particuliers x = 3 est une droite verticale. y = 2 est une droite horizontale. Donc x ≥ 3 est tout ce qui est à droite de la verticale, et y ≤ 2 tout ce qui est sous l'horizontale.

Vérifie-toi

Trait plein ou pointillés pour x + y ≥ 4 ?

Trait plein : l'inégalité est large, la droite fait partie des solutions.

4Systèmes d'inéquations

🎧 Écouter

Un système, c'est plusieurs inéquations qui doivent être vraies en même temps. La zone solution est l'intersection des demi-plans : ce qui est coloré par toutes les inéquations.

Exemple. x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 6 et x + 2y ≤ 8.

x ≥ 0 et y ≥ 0 : le quart de plan en haut à droite, axes compris.
x + y ≤ 6 : le côté de l'origine de la droite x + y = 6.
x + 2y ≤ 8 : le côté de l'origine de la droite x + 2y = 8.

En gardant ce qui est commun aux quatre, on obtient un quadrilatère.

À retenir La zone solution d'un système d'inéquations du premier degré est limitée par des segments : c'est un polygone (parfois une zone qui continue à l'infini). Elle peut aussi être vide.

Vérifie-toi

Le point (5 ; 2) est-il dans la zone solution du système ci-dessus ?

x + y = 7 > 6 : non. Il est hors de la zone.

5Traduire une situation en inéquations

🎧 Écouter

« au moins 50 romans »	x ≥ 50
« au plus 20 livres », « pas plus de »	y ≤ 20
« plus de romans que de livres »	x > y
« budget de 300 000 F », « pas plus de »	2 000x + 3 000y ≤ 300 000
« au total 140 ouvrages »	x + y = 140
Des quantités	x ≥ 0 et y ≥ 0 (et entiers si ce sont des objets)

Choisis les inconnues avec leur unité (« x = nombre de romans »).
Liste chaque condition de l'énoncé, une par une.
Écris les conditions cachées : x ≥ 0 et y ≥ 0.
Simplifie si tu peux (ici, on divise par 1 000 : 2x + 3y ≤ 300).

Exemple. Une boutique vend des cahiers (x) à 300 F et des stylos (y) à 150 F. Le budget est de 3 000 F au plus, on veut au moins 2 cahiers, et plus de stylos que de cahiers.

300x + 150y ≤ 3 000, soit 2x + y ≤ 20.
x ≥ 2 et y > x.
x et y sont des entiers.

Vérifie-toi

Dans cet exemple, (4 ; 8) est-il une solution ?

2 × 4 + 8 = 16 ≤ 20, 4 ≥ 2 et 8 > 4 : oui.

6Lire la zone et trouver les sommets

🎧 Écouter

Les sommets du polygone sont les points où deux droites frontières se coupent. Pour les trouver avec précision, on résout un système de deux équations.

Exemple : le point où x + y = 6 coupe x + 2y = 8. On soustrait : (x + 2y) − (x + y) = 8 − 6, donc y = 2. Puis x = 6 − 2 = 4. Le sommet est (4 ; 2). Les autres sommets se lisent sur les axes : (0 ; 0), (6 ; 0) et (0 ; 4).

Attention Un point d'intersection n'est un sommet de la zone que s'il vérifie toutes les autres inéquations. Vérifie-le toujours.

Vérifie-toi

Où x = 0 coupe-t-elle x + 2y = 8 ?

x = 0 donne 2y = 8, donc y = 4. Le point est (0 ; 4).

7Programmation linéaire : le meilleur choix

🎧 Écouter

Souvent, on veut le plus grand bénéfice ou le plus petit coût. On cherche alors le maximum ou le minimum d'une expression F = ax + by, sur la zone solution d'un système.

Théorème (admis) Quand la zone solution est un polygone, la valeur maximale et la valeur minimale de F = ax + by sont atteintes en un sommet du polygone.

Trouve tous les sommets.
Calcule F à chaque sommet.
Compare : le plus grand est le maximum, le plus petit est le minimum.

Exemple : F = 2x + 3y sur la zone de la section 4.

F(0 ; 0) = 0.
F(6 ; 0) = 12.
F(4 ; 2) = 8 + 6 = 14.
F(0 ; 4) = 12.

Le maximum est 14, en (4 ; 2). Le minimum est 0, en (0 ; 0).

Pour voir pourquoi, trace les droites de niveau 2x + 3y = k : elles sont parallèles. En augmentant k, on les « fait glisser » vers le haut. La dernière qui touche encore la zone passe par (4 ; 2).

Piège Si les quantités doivent être entières (des tables, des livres), vérifie que le sommet trouvé a des coordonnées entières. Sinon, on cherche le meilleur couple entier tout près.

Vérifie-toi

Avec F = x + 3y sur la même zone, où est le maximum ?

F(0 ; 0) = 0, F(6 ; 0) = 6, F(4 ; 2) = 10, F(0 ; 4) = 12. Le maximum est 12, en (0 ; 4).

8Traiter une situation : retour à la bibliothèque

🎧 Écouter

Reprenons : x romans, y livres, et les souhaits des élèves.

Traduire. Au moins 50 romans : x ≥ 50. Au moins 18 livres : y ≥ 18. Plus de romans que de livres : x > y. Budget : 2 000x + 3 000y ≤ 300 000, soit 2x + 3y ≤ 300.
Voir la zone. C'est le quadrilatère de sommets (50 ; 18), (123 ; 18), (60 ; 60) et (50 ; 50), avec le côté x > y exclu.
Ajouter la dernière condition. Le Conseil achète 140 ouvrages : x + y = 140, donc y = 140 − x. On cherche les points de la zone sur cette droite.
Calculer. Budget : 2x + 3(140 − x) ≤ 300 donne 420 − x ≤ 300, donc x ≥ 120. Au moins 18 livres : 140 − x ≥ 18, donc x ≤ 122. Les deux autres conditions sont alors vraies.
Conclure. x ∈ {120 ; 121 ; 122} car x est entier. Il y a 3 possibilités : (120 romans ; 20 livres), (121 ; 19) et (122 ; 18).

Vérifie-toi

Vérifie que (121 ; 19) respecte le budget.

2 × 121 + 3 × 19 = 242 + 57 = 299 ≤ 300. Oui. Cela fait 242 000 + 57 000 = 299 000 F.

Bravo, tu as terminé la Leçon 4 et la première vague du programme de Seconde C !

Inéquations dans ℝ × ℝ

🧭 Savoir-faire

Les 5 temps d'un exercice

Si tu vois… pense à…

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Les 12 erreurs de copie à éviter

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1Inéquations à deux inconnues

2La droite frontière et ses deux demi-plans

3Tracer un demi-plan

4Systèmes d'inéquations

5Traduire une situation en inéquations

6Lire la zone et trouver les sommets

7Programmation linéaire : le meilleur choix

8Traiter une situation : retour à la bibliothèque

❓ Quiz

?QCM de la leçon

✏️ Exercices

✎Exercices corrigés

🎯 Vers le DS