Leçon 3 : Équations et inéquations dans ℝ

🧭 Savoir-faire

Comment résoudre une équation ou une inéquation sans perdre de points : la méthode, les fiches et les erreurs à éviter.

Les 5 temps d'un exercice

Coche chaque temps en appuyant dessus.

1ComprendreLis la question deux fois. Équation ou inéquation ? Fraction ? Valeur absolue ? Écris l'ensemble de validité.
2Traduire en mathsDans une situation, nomme l'inconnue (x, n…) et écris l'équation ou l'inéquation.
3Choisir l'outilPremier degré, factorisation, tableau de signes, cas de la valeur absolue ? Aide-toi du tableau plus bas.
4Calculer proprementUne ligne, une idée. Pense au sens de l'inégalité quand tu multiplies par un négatif.
5Conclure et vérifierÉcris S sous forme d'intervalle. Teste une solution. Dans une situation, écris une phrase avec l'unité.

Si tu vois… pense à…

ax + b = c, ax + b ≤ c	Isoler x. Si tu divises par un négatif, change le sens.
Un produit égal à 0	Chaque facteur égal à 0 : A = 0 ou B = 0.
Un polynôme égal à 0 qui n'est pas factorisé	Tout à gauche, 0 à droite, puis factorise (identité, forme canonique, zéro évident).
P(x) > 0 ou P(x) ≤ 0	Factorise, puis tableau de signes.
Un x au dénominateur	Valeurs interdites d'abord. Ne multiplie pas par le dénominateur dans une inéquation.
\|A\| = nombre	A = nombre ou A = −nombre (si le nombre est positif).
\|A\| = \|B\|	A = B ou A = −B.
\|A\| = B avec une expression B	Impose B ≥ 0, résous les deux cas, garde ceux qui vérifient B ≥ 0.
\|x − a\| < r ou \|x − a\| > r	Distance : proche de a (un intervalle) ou loin de a (deux intervalles).
Un coût, un tarif « par tranches »	Distingue les cas, traite chaque cas avec ses conditions.

Les fiches méthode

Ouvre la fiche qui correspond à ton exercice.

1️⃣ Équation et inéquation du premier degré

Démarche

Développe et réduis chaque membre si besoin.
Rassemble les termes en x d'un côté, les nombres de l'autre.
Divise par le coefficient de x.
Si ce coefficient est négatif et que c'est une inéquation : change le sens.
Écris S sous forme d'intervalle.

Exemple corrigé : 2x − 1 ≥ 3x + 4

2x − 3x ≥ 4 + 1, donc −x ≥ 5, donc x ≤ −5 (on a changé le sens).

S = ]−∞ ; −5].

❌ Ce que beaucoup écrivent−x ≥ 5 donc x ≥ −5

✅ À écrire−x ≥ 5 donc x ≤ −5 : on a multiplié par −1.

✖️ Équation produit nul et factorisation

Démarche

Mets tout à gauche et 0 à droite.
Factorise : facteur commun, identité remarquable, forme canonique, ou zéro évident puis division.
Écris « un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul ».
Résous chaque facteur et donne S.

Exemple corrigé : x³ − 3x² − x + 3 = 0

On groupe : x²(x − 3) − (x − 3) = (x − 3)(x² − 1) = (x − 3)(x − 1)(x + 1).

S = {−1 ; 1 ; 3}.

❌ Ce que beaucoup écriventx² = 4x donc x = 4 (on divise par x)

✅ À écrirex² − 4x = 0, x(x − 4) = 0, donc x = 0 ou x = 4.

📊 Inéquation polynomiale (tableau de signes)

Démarche

Tout à gauche, 0 à droite.
Factorise complètement.
Trouve les zéros et range-les du plus petit au plus grand.
Dresse le tableau : une ligne par facteur, une ligne pour le produit.
Lis les intervalles voulus. Crochets fermés si ≤ ou ≥, ouverts si < ou >.

Exemple corrigé : x² − x − 6 > 0

(x − 3)(x + 2) > 0. Zéros : −2 et 3. Signe de x² positif : le produit est positif à l'extérieur.

S = ]−∞ ; −2[ ∪ ]3 ; +∞[.

Astuce. Teste un nombre dans chaque zone. Ici, x = 0 donne −6, négatif : 0 est entre −2 et 3, la zone exclue. ✓

➗ Équation avec fractions

Démarche

Écris l'ensemble de validité (dénominateurs différents de 0).
Mets tout au même dénominateur, ou fais le produit en croix.
Résous l'équation obtenue sur les numérateurs.
Élimine les solutions interdites.

Exemple corrigé : (x² − 1)/(x − 1) = 0

Validité : x ≠ 1. Le numérateur vaut 0 pour x = 1 ou x = −1. Mais 1 est interdit.

S = {−1}.

❌ Ce que beaucoup écriventS = {−1 ; 1}

✅ À écrireOn retire la valeur interdite : S = {−1}.

📉 Inéquation avec fractions

Démarche

Écris l'ensemble de validité.
Amène tout d'un seul côté pour avoir 0 de l'autre.
Mets au même dénominateur et simplifie.
Tableau de signes du quotient : zéros du numérateur et valeurs interdites.
La valeur interdite a toujours un crochet ouvert.

Exemple corrigé : 1/(x − 1) ≤ 2

1/(x − 1) − 2 ≤ 0, donc (3 − 2x)/(x − 1) ≤ 0. Zéro : 3/2. Interdit : 1.

Négatif pour x < 1, positif sur ]1 ; 3/2[, négatif pour x > 3/2.

S = ]−∞ ; 1[ ∪ [3/2 ; +∞[.

❌ Ce que beaucoup écrivent1/(x − 1) ≤ 2 donc 1 ≤ 2(x − 1)

✅ À écrireOn ne multiplie pas par x − 1 : son signe change selon x. On passe par le tableau de signes.

📏 Équation avec valeur absolue

Démarche

Repère le type : |A| = r, |A| = |B| ou |A| = B.
Si le membre de droite est un nombre négatif : S = ∅.
Sinon, écris les deux cas : A = B ou A = −B.
Si le second membre est une expression, impose B ≥ 0 et vérifie chaque solution.

Exemple corrigé : |x − 1| = 2x − 5

Condition : 2x − 5 ≥ 0, donc x ≥ 5/2.

Cas 1 : x − 1 = 2x − 5 donne x = 4, accepté. Cas 2 : 1 − x = 2x − 5 donne x = 2, refusé car 2 < 5/2.

S = {4}.

❌ Ce que beaucoup écrivent|x² + 2| = 0 donc x² + 2 = 0 ou x² + 2 = −0, donc x = ±√2

✅ À écrirex² + 2 ≥ 2 > 0, donc |x² + 2| = x² + 2 ne peut pas valoir 0. S = ∅.

↔️ Inéquation avec valeur absolue

Démarche

Traduis par la distance : |x − a| < r veut dire « x est à moins de r de a ».
« Proche » : un seul encadrement a − r < x < a + r.
« Loin » : deux morceaux, x < a − r ou x > a + r.
Si la parenthèse n'est pas x − a, résous d'abord l'encadrement sur l'expression.

Exemple corrigé : |2x + 1| ≤ 5

−5 ≤ 2x + 1 ≤ 5, donc −6 ≤ 2x ≤ 4, donc −3 ≤ x ≤ 2.

S = [−3 ; 2].

🔗 Résoudre un système de deux conditions

Démarche

Résous chaque inéquation séparément.
Dessine les deux ensembles sur une droite graduée, avec deux couleurs.
Les solutions du système sont dans les deux ensembles à la fois : c'est l'intersection.

Exemple corrigé : |x − 2| ≤ 3 et |x + 1| > 2

Première : [−1 ; 5]. Seconde : ]−∞ ; −3[ ∪ ]1 ; +∞[.

Les deux à la fois : S = ]1 ; 5].

🎯 Réussir une situation complexe

Une situation complexe raconte une histoire et finit par « dis qui a raison ». Elle est notée sur trois critères : as-tu compris la situation, as-tu utilisé les bons outils, ta réponse est-elle cohérente.

Démarche

Comprendre : qui dit quoi ? Surligne les nombres. Y a-t-il des cas (tranches, seuils) ?
Traduire : nomme l'inconnue et écris l'équation ou l'inéquation pour chaque cas.
Résoudre : traite chaque cas avec sa condition.
Vérifier : la solution est-elle dans le bon cas ? Est-elle entière, positive ?
Conclure : réponds à la question et dis qui a raison, avec une phrase complète et l'unité.

Exemple corrigé

On vend un objet à 1 000 F. Le coût est 700 F l'unité plus 30 000 F fixes. À partir de combien d'objets gagne-t-on de l'argent ?

Traduire : bénéfice = 1 000n − (700n + 30 000) = 300n − 30 000 > 0.

Résoudre : n > 100. Vérifier : pour n = 100, le bénéfice est exactement 0.

Conclure : il faut vendre au moins 101 objets.

Les 12 erreurs de copie à éviter

Relis-les avant chaque devoir.

❌−2x > 4 donc x > −2

✅On divise par −2 : x < −2

❌x² = 9 donc x = 3

✅x = 3 ou x = −3

❌x² = −4 donc x = ±2

✅Un carré n'est jamais négatif : S = ∅

❌x³ = x, on divise par x : x² = 1

✅x(x − 1)(x + 1) = 0 : S = {−1 ; 0 ; 1}

❌(x − 1)(x + 2) = 3 donc x − 1 = 3 ou x + 2 = 3

✅Le produit nul ne marche qu'avec 0 : développe d'abord et mets 0 à droite

❌Oublier les valeurs interdites

✅Ensemble de validité en premier, et on retire les solutions interdites à la fin

❌1/(x − 1) ≤ 2 donc 1 ≤ 2(x − 1)

✅Tableau de signes du quotient (3 − 2x)/(x − 1) ≤ 0

❌Écrire que 2 est solution alors que 2 annule le dénominateur

✅La valeur interdite a un crochet ouvert, toujours

❌|x| = −2 donc x = 2 ou x = −2

✅Une valeur absolue n'est jamais négative : S = ∅

❌|x| < 2 donc x < 2 ou x < −2

✅−2 < x < 2

❌|x − 1| = 2x − 5 : garder toutes les solutions trouvées

✅Il faut 2x − 5 ≥ 0 : vérifie chaque solution

❌Trouver n = 500 et répondre « 500 exemplaires » alors que le bénéfice est nul

✅Pour un bénéfice strictement positif, on prend l'entier suivant : 501

📖 Cours

8 sections courtes. Appuie sur 🎧 pour écouter chaque section expliquée à voix haute.

1Équation, inéquation, équivalence

🎧 Écouter

Une histoire pour commencer : le club journal du lycée de Divo Pour fabriquer le journal, le club paie 600 F par exemplaire pour les 250 premiers, puis 400 F par exemplaire à partir du 251ᵉ. Le journal se vend 500 F. Combien d'exemplaires faut-il vendre pour gagner de l'argent ? On va traduire cette question par une inéquation, puis la résoudre. Réponse à la fin de la leçon, dans la section 8.

Équation. Une équation est une égalité qui contient une inconnue, souvent x. Résoudre l'équation, c'est trouver tous les réels qui la rendent vraie : ce sont ses solutions. On les écrit dans un ensemble S.

Inéquation. C'est pareil, avec un signe <, >, ≤ ou ≥ à la place du signe =.

Ensemble de validité. C'est l'ensemble des réels pour lesquels l'équation ou l'inéquation a un sens. Par exemple, pour 1/(x − 2) = 3, le nombre 2 est interdit : l'ensemble de validité est ℝ \ {2}.

Équivalence Deux équations (ou deux inéquations) sont équivalentes quand elles ont exactement le même ensemble de solutions. On écrit ⇔.

Exemples.

2x = 6 ⇔ x = 3 : même solution, elles sont équivalentes.
x² = 9 et x = 3 ne sont pas équivalentes : la première a aussi la solution −3.

Vérifie-toi

Quel est l'ensemble de validité de 5/(x − 4) = 1 ?

Le dénominateur ne doit pas être nul : x ≠ 4. L'ensemble de validité est ℝ \ {4}.

2Le premier degré

🎧 Écouter

Pour résoudre, on garde l'équivalence en faisant des opérations autorisées sur les deux membres :

ajouter ou retrancher le même nombre aux deux membres ;
multiplier ou diviser les deux membres par un nombre non nul.

Règle d'or des inéquations Si tu multiplies ou divises par un nombre négatif, le sens de l'inégalité change.

Exemples.

3x − 5 = 7 donne 3x = 12, donc x = 4. S = {4}.
5 − 2x < 9 donne −2x < 4. On divise par −2 : x > −2. S = ]−2 ; +∞[.
(x + 1)/2 ≥ (2x − 1)/3. On multiplie par 6, positif : 3(x + 1) ≥ 2(2x − 1), soit 3x + 3 ≥ 4x − 2, donc 5 ≥ x. S = ]−∞ ; 5].

Vérifie-toi

Résous 2x − 1 ≥ 3x + 4.

2x − 3x ≥ 4 + 1, donc −x ≥ 5, donc x ≤ −5 (on change le sens). S = ]−∞ ; −5].

3Équations polynomiales : produit nul et factorisation

🎧 Écouter

Produit nul Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0.

La méthode : tout à gauche, 0 à droite, on factorise (avec la Leçon 2), puis on utilise le produit nul.

Exemples.

(2x − 1)(x + 4) = 0 donne x = 1/2 ou x = −4.
x² − 4x = 0 donne x(x − 4) = 0, donc x = 0 ou x = 4.
x² = 9 donne x = 3 ou x = −3. Mais x² = −1 n'a aucune solution : un carré n'est jamais négatif.
x² − x − 6 = 0. Forme canonique : (x − 1/2)² − 25/4 = 0, soit (x − 1/2 − 5/2)(x − 1/2 + 5/2) = 0, donc (x − 3)(x + 2) = 0. S = {−2 ; 3}.
x³ − 3x² − x + 3 = 0. On groupe : x²(x − 3) − (x − 3) = (x − 3)(x² − 1) = (x − 3)(x − 1)(x + 1). S = {−1 ; 1 ; 3}.

Piège Pour x³ = x, ne divise jamais par x : tu perdrais la solution 0. Écris x³ − x = 0, donc x(x − 1)(x + 1) = 0, et S = {−1 ; 0 ; 1}.

Vérifie-toi

Résous 2x² − 8 = 0.

2(x² − 4) = 2(x − 2)(x + 2) = 0. S = {−2 ; 2}.

4Inéquations polynomiales : le tableau de signes

🎧 Écouter

La méthode : tout à gauche, 0 à droite, on factorise, puis on étudie le signe du produit avec un tableau (voir la Leçon 2, section 7).

Exemple 1 : x² − x − 6 > 0. On factorise : (x − 3)(x + 2) > 0. Les zéros sont −2 et 3. Le coefficient de x² est positif : le produit est positif à l'extérieur des zéros. S = ]−∞ ; −2[ ∪ ]3 ; +∞[.

Exemple 2 : (x − 1)(x + 2)(x − 4) ≤ 0. Zéros : −2, 1 et 4. À droite de 4, tous les facteurs sont positifs. Puis le signe change à chaque zéro : négatif sur ]1 ; 4[, positif sur ]−2 ; 1[, négatif avant −2. Comme l'inégalité est large, les zéros comptent : S = ]−∞ ; −2] ∪ [1 ; 4].

Exemple 3 : x² ≤ 4. x² − 4 ≤ 0 donne (x − 2)(x + 2) ≤ 0. S = [−2 ; 2].

Piège Pour x² > x, ne simplifie pas par x. Écris x² − x > 0, donc x(x − 1) > 0 : S = ]−∞ ; 0[ ∪ ]1 ; +∞[.

Vérifie-toi

Résous x² − 5x + 6 < 0.

(x − 2)(x − 3) < 0 : négatif entre les zéros. S = ]2 ; 3[.

5Équations et inéquations avec des fractions

🎧 Écouter

Premier réflexe, toujours : écrire l'ensemble de validité, c'est-à-dire les valeurs interdites.

Les équations

On met tout au même dénominateur (ou on fait le produit en croix), on résout, puis on vérifie que chaque solution est autorisée.

Exemples.

(2x + 1)/(x − 3) = 1. Validité : x ≠ 3. On obtient 2x + 1 = x − 3, donc x = −4, qui est autorisé. S = {−4}.
(x² − 1)/(x − 1) = 0. Validité : x ≠ 1. Le numérateur s'annule en 1 et en −1, mais 1 est interdit. S = {−1}.

Les inéquations

On ne multiplie pas par le dénominateur, car on ne connaît pas son signe. On amène tout d'un côté, on met au même dénominateur et on fait un tableau de signes du quotient.

Exemple 1 : (x + 1)/(x − 2) ≥ 0. Zéro du numérateur : −1. Valeur interdite : 2. Positif pour x > 2, négatif sur ]−1 ; 2[, positif pour x < −1. S = ]−∞ ; −1] ∪ ]2 ; +∞[. Le −1 est inclus, le 2 est toujours exclu.

Exemple 2 : 1/(x − 1) ≤ 2. 1/(x − 1) − 2 ≤ 0, soit (3 − 2x)/(x − 1) ≤ 0. Zéro : 3/2. Interdit : 1. Le quotient est négatif pour x < 1, positif sur ]1 ; 3/2[, négatif pour x > 3/2. S = ]−∞ ; 1[ ∪ [3/2 ; +∞[.

Piège Dans 1/(x − 1) ≤ 2, écrire « 1 ≤ 2(x − 1) » est une erreur : si x − 1 est négatif, l'inégalité change de sens.

Vérifie-toi

Résous (x² − 4)/(x + 2) = 0.

Validité : x ≠ −2. Le numérateur (x − 2)(x + 2) s'annule en 2 et en −2, mais −2 est interdit. S = {2}.

6Valeur absolue : les équations

🎧 Écouter

Rappel (Leçon 1) : |x − a| est la distance entre x et a. Une distance n'est jamais négative.

Les trois types à connaître

|A| = r avec r > 0 ⇔ A = r ou A = −r. Si r < 0, il n'y a aucune solution.
|A| = |B| ⇔ A = B ou A = −B.
|A| = B : on exige d'abord B ≥ 0, puis on résout A = B ou A = −B, et on garde seulement les solutions qui vérifient B ≥ 0.

Exemples.

|x − 3| = 5 donne x − 3 = 5 ou x − 3 = −5. S = {−2 ; 8}.
|x + 2| = −3 : impossible, une valeur absolue n'est jamais négative. S = ∅.
|2x − 1| = |x + 4| : 2x − 1 = x + 4 donne x = 5, et 2x − 1 = −x − 4 donne x = −1. S = {−1 ; 5}.
|x − 1| = 2x − 5. Il faut 2x − 5 ≥ 0, donc x ≥ 5/2. Cas 1 : x − 1 = 2x − 5 donne x = 4, accepté. Cas 2 : −(x − 1) = 2x − 5 donne x = 2, refusé car 2 < 5/2. S = {4}.

Vérifie-toi

Résous |x − 1| = 3.

x − 1 = 3 ou x − 1 = −3, donc x = 4 ou x = −2. S = {−2 ; 4}.

7Valeur absolue : les inéquations

🎧 Écouter

Pense « distance ». Pour r > 0 :

À retenir

|x − a| < r ⇔ a − r < x < a + r : x est proche de a. Un seul intervalle.
|x − a| > r ⇔ x < a − r ou x > a + r : x est loin de a. Deux intervalles.
Avec ≤ ou ≥, les bornes sont incluses.

Exemples.

|x − 2| < 3 donne −1 < x < 5. S = ]−1 ; 5[.
|x − 2| ≥ 3 donne x ≤ −1 ou x ≥ 5. S = ]−∞ ; −1] ∪ [5 ; +∞[.
|2x + 1| ≤ 5 donne −5 ≤ 2x + 1 ≤ 5, puis −6 ≤ 2x ≤ 4, donc −3 ≤ x ≤ 2. S = [−3 ; 2].
|x + 1| > 2 donne x + 1 > 2 ou x + 1 < −2, donc x > 1 ou x < −3. S = ]−∞ ; −3[ ∪ ]1 ; +∞[.

Piège |x| < 2 ne s'écrit pas « x < 2 ou x < −2 ». C'est −2 < x < 2. Et |x| > 2 ne s'écrit pas −2 < x < 2 : c'est l'inverse.

Vérifie-toi

Résous |x − 3| ≤ 1.

−1 ≤ x − 3 ≤ 1, donc 2 ≤ x ≤ 4. S = [2 ; 4].

8Traiter une situation : retour à Divo

🎧 Écouter

On reprend le club journal. Notons n le nombre d'exemplaires vendus.

Comprendre. Les frais ne sont pas les mêmes avant et après 250 exemplaires : il y a deux cas.
Traduire. La recette est 500n.
- Si n ≤ 250, le coût est 600n.
- Si n > 250, le coût est 600 × 250 + 400(n − 250) = 150 000 + 400n − 100 000 = 400n + 50 000.
Calculer.
- Si n ≤ 250, le bénéfice est 500n − 600n = −100n, toujours négatif : on perd de l'argent.
- Si n > 250, le bénéfice est 500n − (400n + 50 000) = 100n − 50 000. Il est positif si 100n > 50 000, soit n > 500.
Conclure. Pour n = 500, le bénéfice est exactement 0 : on ne gagne rien. Comme n est un entier, il faut vendre au moins 501 exemplaires. À 501, le bénéfice est 100 F.

Les 3 réflexes en situation

Repérer les cas différents et les traiter l'un après l'autre.
Vérifier que chaque solution a un sens (entier, positif, dans le bon cas).
Écrire une phrase de réponse avec l'unité.

Vérifie-toi

Si le journal se vendait 600 F, à partir de combien d'exemplaires gagnerait-on de l'argent ?

Pour n ≤ 250 : 600n − 600n = 0, jamais de bénéfice. Pour n > 250 : 600n − (400n + 50 000) = 200n − 50 000 > 0 donne n > 250. Dès le 251ᵉ exemplaire, on gagne de l'argent.

Bravo, tu as terminé la Leçon 3 ! Prochaine étape : les inéquations dans ℝ × ℝ.

Équations et inéquations dans ℝ

🧭 Savoir-faire

Les 5 temps d'un exercice

Si tu vois… pense à…

Les fiches méthode

Démarche

Démarche

Démarche

Démarche

Démarche

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Les 12 erreurs de copie à éviter

📖 Cours

1Équation, inéquation, équivalence

2Le premier degré

3Équations polynomiales : produit nul et factorisation

4Inéquations polynomiales : le tableau de signes

5Équations et inéquations avec des fractions

Les équations

Les inéquations

6Valeur absolue : les équations

7Valeur absolue : les inéquations

8Traiter une situation : retour à Divo

❓ Quiz

?QCM de la leçon

✏️ Exercices

✎Exercices corrigés

🎯 Vers le DS