Leçon 2 : Polynômes et fractions rationnelles

🧭 Savoir-faire

Comment réussir un exercice sur les polynômes et les fractions, étape par étape, et éviter les erreurs qui coûtent des points.

Les 5 temps d'un exercice

Même quand le sujet fait peur, on suit toujours le même chemin. Coche chaque temps en appuyant dessus.

1ComprendreLis l'énoncé deux fois. Souligne les données et la question. Fais un schéma si tu peux.
2Traduire en mathsÉcris l'aire, le coût ou le bénéfice sous forme d'un polynôme ou d'une fraction.
3Choisir l'outilDévelopper, factoriser, forme canonique, tableau de signes ? Aide-toi du tableau plus bas.
4Calculer proprementUne ligne, une idée. Vérifie chaque développement en remplaçant x par une valeur simple.
5Conclure et vérifierÉcris une phrase de réponse, avec l'unité. Vérifie que la solution est possible dans la situation (une longueur ne peut pas être négative).

Si tu vois… pense à…

Un produit de deux parenthèses à calculer	Développer, puis réduire (additionner les termes de même puissance).
(a + b)², (a − b)², a² − b²	Identités remarquables. N'oublie pas le double produit.
« Vérifie que 2 est un zéro de P »	Calcule P(2) et montre que c'est 0.
« Factorise P » avec un polynôme de degré 3	Cherche un zéro simple (1, −1, 2, −2), puis factorise par x − α.
Un trinôme ax² + bx + c à factoriser	Forme canonique, puis a² − b².
« Étudie le signe de… »	Factorise, puis tableau de signes.
Une fraction rationnelle	1) valeurs interdites, 2) factoriser, 3) simplifier.
« Écris sous la forme a/(x − 2) + b/(x + 2) »	Mets au même dénominateur, puis identifie les coefficients.
« Écris sous la forme ax + b + c/(x + d) »	Division euclidienne.
« Dis qui a raison »	Traduis chaque affirmation en maths, teste-la, puis conclus.

Les fiches méthode

Ouvre la fiche qui correspond à ton exercice.

🔢 Reconnaître un polynôme, son degré, ses coefficients

Démarche

Développe et réduis l'expression si besoin.
Range les termes par puissances décroissantes.
Le degré est la plus grande puissance dont le coefficient n'est pas nul.
Les coefficients des puissances « absentes » valent 0.

Exemple corrigé

(x − 1)(x + 2) = x² + x − 2 : degré 2, coefficients 1, 1 et −2.

x³ − 4 : degré 3, coefficients 1, 0, 0 et −4.

❌ Ce que beaucoup écrivent« (x + 1)(x² + 3) a le degré 2 + 1... donc 3, mais (x²+x)+(−x²+1) aussi 2 »

✅ À retenirProduit : on additionne les degrés. Somme : le degré peut baisser, car les termes de plus haut degré peuvent s'annuler.

✖️ Développer (identités remarquables)

Démarche

Repère une identité : un carré (a ± b)² ou un produit (a + b)(a − b).
Identifie a et b, avec leur signe.
Applique la formule sans oublier le double produit 2ab.
Vérifie avec x = 1 ou x = 0.

Exemple corrigé

(3x − 2)² : a = 3x et b = 2. On obtient 9x² − 12x + 4. Test : x = 1 donne 1 d'un côté et 9 − 12 + 4 = 1 de l'autre ✓.

(2x + 5)(2x − 5) = 4x² − 25.

❌ Ce que beaucoup écrivent(x + 3)² = x² + 9

✅ À écrire(x + 3)² = x² + 6x + 9

0️⃣ Vérifier un zéro et en trouver un

Démarche

Remplace x par le nombre dans P.
Calcule avec soin, en gardant les parenthèses pour les nombres négatifs.
Si P(α) = 0, alors α est un zéro.
Pour en trouver un : teste 1, −1, 2, −2, puis les diviseurs du terme constant.

Exemple corrigé

P(x) = 2x³ − 3x² − 11x + 6. P(3) = 54 − 27 − 33 + 6 = 0. Donc 3 est un zéro.

Astuce. Pour (−2)², écris toujours (−2)² = 4. Sans parenthèses, −2² = −4.

🧮 Factoriser par x − a : coefficients indéterminés

Démarche

Trouve un zéro α de P.
Écris P(x) = (x − α)(ax² + bx + c), avec le bon degré.
Développe le membre de droite et range par puissances.
Identifie les coefficients avec ceux de P et résous.
Vérifie avec la dernière équation (celle du terme constant).

Exemple corrigé : x³ − 6x² + 11x − 6, zéro 1

(x − 1)(x² + bx + c) = x³ + (b − 1)x² + (c − b)x − c. On identifie : b − 1 = −6 donc b = −5 ; c − b = 11 donc c = 6 ; −c = −6 ✓.

P(x) = (x − 1)(x² − 5x + 6) = (x − 1)(x − 2)(x − 3).

➗ Factoriser par x − a : division euclidienne

Démarche

Range P par puissances décroissantes, sans oublier les termes absents (écris 0x²).
Divise le terme de plus haut degré du reste par x pour trouver le terme suivant du quotient.
Multiplie ce terme par x − α et soustrais.
Recommence jusqu'à un reste de degré inférieur à 1.

Astuce de contrôle. Le reste doit être P(α). S'il n'est pas nul alors que α est censé être un zéro, tu t'es trompé.

🟦 Second degré : forme canonique et factorisation

Démarche

Si a ≠ 1, mets a en facteur.
Repère x² + bx : c'est le début du carré (x + b/2)².
Écris (x + b/2)² − (b/2)² + c.
Si tu obtiens (x + b/2)² − (nombre positif), applique a² − b².
Si tu obtiens (x + b/2)² + (nombre positif), il n'y a pas de zéro.

Exemple corrigé : x² − 4x − 5

x² − 4x − 5 = (x − 2)² − 4 − 5 = (x − 2)² − 9 = (x − 2 − 3)(x − 2 + 3) = (x − 5)(x + 1).

❌ Ce que beaucoup écriventx² − 4x − 5 = (x − 2)² − 5

✅ À écrireOn retranche aussi le 4 ajouté par le carré : (x − 2)² − 4 − 5 = (x − 2)² − 9.

📊 Étudier le signe d'un polynôme

Démarche

Factorise complètement.
Trouve les zéros de chaque facteur et range-les du plus petit au plus grand.
Dresse le tableau : une ligne par facteur, une ligne pour le produit.
Pour chaque zone, applique la règle des signes.
Réponds avec des intervalles. Crochets fermés si l'inégalité est large (≥, ≤), ouverts si elle est stricte.

Exemple corrigé : (x − 3)(2x − 1)(x + 2) < 0

Zéros : −2, 1/2 et 3. Pour x très grand, tous les facteurs sont positifs, donc le produit est positif à droite de 3. Puis le signe change à chaque zéro.

Positif sur ]3 ; +∞[, négatif sur ]1/2 ; 3[, positif sur ]−2 ; 1/2[, négatif sur ]−∞ ; −2[.

S = ]−∞ ; −2[ ∪ ]1/2 ; 3[.

Astuce. Teste une valeur dans chaque zone : x = 0 donne (−3)(−1)(2) = 6, positif, et 0 est bien dans ]−2 ; 1/2[.

➗ Fraction rationnelle : définition, simplification, signe

Démarche

Factorise le dénominateur et trouve les valeurs interdites. Écris l'ensemble de définition.
Factorise le numérateur.
Simplifie par les facteurs communs.
Pour le signe : tableau de signes avec les zéros du numérateur et du dénominateur.

Exemple corrigé : (x³ − x)/(x² − 2x + 1)

Dénominateur : (x − 1)², valeur interdite 1. Ensemble de définition ℝ \ {1}.

Numérateur : x(x − 1)(x + 1). Après simplification : x(x + 1)/(x − 1), pour x différent de 1.

❌ Ce que beaucoup écrivent« La fraction simplifiée est définie sur ℝ »

✅ À écrireLes valeurs interdites de la fraction de départ restent interdites : x ≠ 1.

🧩 Écrire une fraction autrement (division ou identification)

Deux cas

Degré du numérateur ≥ degré du dénominateur : division euclidienne, puis P/D = Q + R/D.
Dénominateur factorisé (x − 1)(x + 2) : on cherche a/(x − 1) + b/(x + 2).
Mets au même dénominateur, puis identifie les coefficients du numérateur.

Exemple corrigé : (5x + 4)/((x − 1)(x + 2))

a/(x − 1) + b/(x + 2) = (a(x + 2) + b(x − 1))/((x − 1)(x + 2)). On veut a(x + 2) + b(x − 1) = 5x + 4, soit (a + b)x + (2a − b) = 5x + 4.

Donc a + b = 5 et 2a − b = 4. En additionnant : 3a = 9, a = 3 et b = 2.

(5x + 4)/((x − 1)(x + 2)) = 3/(x − 1) + 2/(x + 2). Test : x = 0 donne −2 des deux côtés ✓.

🎯 Réussir une situation complexe

Une situation complexe raconte une histoire et finit par « dis qui a raison ». Elle est notée sur trois critères : as-tu compris la situation, as-tu utilisé les bons outils, ta réponse est-elle cohérente.

Démarche

Comprendre : qui dit quoi ? Surligne les nombres et la question. Fais un schéma.
Traduire : écris l'aire, le coût ou le bénéfice sous forme d'un polynôme.
Choisir l'outil : développer, factoriser, forme canonique ? Une phrase pour dire pourquoi.
Calculer : propre, une idée par ligne.
Conclure : réponds à la question par une phrase complète, avec l'unité, et vérifie que la solution est possible dans la situation.

Exemple corrigé

Un terrain rectangulaire a pour côtés x et x + 3, et son aire est 10 m². Trouve x.

Traduire : x(x + 3) = 10, donc x² + 3x − 10 = 0.

Factoriser : x² + 3x − 10 = (x − 2)(x + 5) = 0, donc x = 2 ou x = −5.

Conclure : une longueur est positive, donc x = 2 m. La solution −5 est rejetée.

Astuce. Après avoir trouvé les solutions, demande-toi toujours : « est-ce possible dans l'histoire ? ».

Les 12 erreurs de copie à éviter

Relis-les avant chaque devoir.

❌(x + 3)² = x² + 9

✅(x + 3)² = x² + 6x + 9

❌(−x)² = −x²

✅(−x)² = x², alors que −x² est l'opposé de x²

❌(x − 2)(x + 3) = x² − 6

✅x² + 3x − 2x − 6 = x² + x − 6

❌deg(P + Q) = deg P + deg Q

✅La somme garde au plus le plus grand degré, le produit additionne les degrés

❌x² = 4 donc x = 2

✅x = 2 ou x = −2

❌x² − 4x = 0, on divise par x : x − 4 = 0

✅x(x − 4) = 0 donne x = 0 ou x = 4. Diviser par x fait perdre la solution 0

❌x² − 4x − 5 = (x − 2)² − 5

✅(x − 2)² − 4 − 5 = (x − 2)² − 9

❌(x + 2)/(x + 3) = 2/3

✅On simplifie des facteurs, jamais des termes

❌Oublier les valeurs interdites d'une fraction

✅Toujours écrire l'ensemble de définition en premier

❌Le trinôme x² + 2x + 5 s'annule en 1 ou −5

✅(x + 1)² + 4 > 0 : il ne s'annule jamais

❌Signe de −(x − 5)(x + 1) : négatif entre −1 et 5

✅Ici a = −1 : positif entre les zéros, négatif à l'extérieur

❌Garder une solution négative pour une longueur

✅Rejette-la et explique pourquoi dans la phrase finale

📖 Cours

8 sections courtes. Appuie sur 🎧 pour écouter chaque section expliquée à voix haute.

1Qu'est-ce qu'un polynôme ?

🎧 Écouter

Une histoire pour commencer : le marché du lycée de Gagnoa Deux vendeuses se partagent un espace de 10 m². V1 occupe un carré de côté x. V2 occupe un rectangle de côté x et de longueur 3 m. L'espace total mesure donc x(x + 3) = 10. En développant : x² + 3x − 10 = 0. Cette expression est un polynôme. À la fin de la leçon, tu sauras la factoriser : (x − 2)(x + 5) = 0, donc x = 2. V1 aura 2 × 2 = 4 m², exactement ce qu'elle voulait.

Définition. Un polynôme est une expression de la forme P(x) = aₙxⁿ + … + a₂x² + a₁x + a₀ où les aᵢ sont des nombres réels et n un entier naturel.

Les nombres aᵢ sont les coefficients. a₀ est le terme constant.
Le degré est le plus grand exposant dont le coefficient n'est pas nul.

Exemples.

3x² − 5x + 1 : degré 2, coefficients 3, −5 et 1.
x³ − 4 : degré 3. Le coefficient de x² est 0 et celui de x est 0 aussi.
7 : polynôme constant, de degré 0.
1/x et √x ne sont pas des polynômes : l'exposant de x n'est pas un entier naturel.

À retenir Au niveau de la Seconde, on ne fait pas de différence entre un polynôme, une fonction polynôme et l'expression du polynôme.

Vérifie-toi

Donne le degré et les coefficients de P(x) = 2x³ − x + 4.

Degré 3. Coefficients : 2 (devant x³), 0 (devant x²), −1 (devant x) et 4 (terme constant).

2Zéro d'un polynôme et égalité de deux polynômes

🎧 Écouter

Définition. Un réel α est un zéro du polynôme P si P(α) = 0.

Exemple. P(x) = x² − 5x + 6.

P(2) = 4 − 10 + 6 = 0 : 2 est un zéro.
P(3) = 9 − 15 + 6 = 0 : 3 est un zéro.
P(1) = 1 − 5 + 6 = 2 : 1 n'est pas un zéro.

Égalité de deux polynômes. Deux polynômes sont égaux quand ils ont le même degré et les mêmes coefficients, puissance par puissance.

Exemple. ax² + bx + c = 2x² − 3x + 5 pour tout x. Alors a = 2, b = −3 et c = 5. C'est la méthode d'identification.

Piège Deux polynômes peuvent donner la même valeur pour un x précis sans être égaux. Pour qu'ils soient égaux, il faut la même valeur pour tous les x, c'est-à-dire les mêmes coefficients.

Vérifie-toi

−1 est-il un zéro de P(x) = x³ − 2x² − x + 2 ?

P(−1) = −1 − 2 + 1 + 2 = 0. Oui, −1 est un zéro.

3Somme, produit et identités remarquables

🎧 Écouter

Les degrés

Pour une somme : le degré de P + Q est au plus le plus grand des deux degrés.
Pour un produit : le degré de P × Q est la somme des degrés (si P et Q ne sont pas nuls).

Piège (x² + x) + (−x² + 1) = x + 1. Les termes en x² s'annulent : le degré de la somme est 1, plus petit que 2.

Les identités remarquables

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²

Avec des cubes (degré 3) : (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ et (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³.

Exemples.

(2x − 1)² = 4x² − 4x + 1.
(x + 2)(x² − 3x + 1) = x³ − 3x² + x + 2x² − 6x + 2 = x³ − x² − 5x + 2.

Piège numéro 1 des copies (x + 3)² n'est pas x² + 9. Il manque le double produit : (x + 3)² = x² + 6x + 9.

Vérifie-toi

Développe (x − 3)² puis (x − 2)(x + 2).

(x − 3)² = x² − 6x + 9 ; (x − 2)(x + 2) = x² − 4.

4Factoriser par x − α

🎧 Écouter

Théorème fondamental Si α est un zéro de P, alors on peut écrire P(x) = (x − α) × Q(x), où Q est un polynôme de degré inférieur d'une unité à celui de P.

On connaît α, il reste à trouver Q. Première méthode : les coefficients indéterminés.

Exemple. P(x) = x³ − 2x² − x + 2. On sait que P(1) = 0. On écrit P(x) = (x − 1)(x² + bx + c).

On développe : (x − 1)(x² + bx + c) = x³ + (b − 1)x² + (c − b)x − c.
On identifie avec x³ − 2x² − x + 2 : b − 1 = −2, c − b = −1, −c = 2.
On trouve b = −1 et c = −2. Les trois équations sont d'accord.

Donc P(x) = (x − 1)(x² − x − 2).

Comment trouver un zéro de départ ? Essaie les valeurs simples : 1, −1, 2, −2, et les diviseurs du terme constant.

Vérifie-toi

Dans l'exemple, Q(x) = x² − x − 2 se factorise aussi. Donne la factorisation complète de P.

x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1). Donc P(x) = (x − 1)(x − 2)(x + 1). Les zéros sont 1, 2 et −1.

5Factoriser par division euclidienne

🎧 Écouter

Deuxième méthode pour trouver Q : on pose la division du polynôme par x − α, comme une division de nombres entiers.

P(x) = D(x) × Q(x) + R(x), avec degré de R < degré de D

Exemple. Divisons x³ − 2x² − x + 2 par x − 1.

x³ − 2x² − x + 2 | x − 1 x³ − x² | x² − x − 2 ------------ − x² − x + 2 − x² + x ------------ − 2x + 2 − 2x + 2 -------- 0

On divise le terme de plus haut degré : x³ ÷ x = x², puis −x² ÷ x = −x, puis −2x ÷ x = −2. Le reste est 0, donc le quotient est x² − x − 2.

Quand le reste n'est pas nul : x² + 4x + 20 divisé par x + 2 donne le quotient x + 2 et le reste 16. On écrit x² + 4x + 20 = (x + 2)(x + 2) + 16.

À retenir Quand on divise P par x − α, le reste est P(α). Si le reste est 0, alors α est un zéro de P et x − α divise P.

Vérifie-toi

Quel est le reste de la division de P(x) = x³ − 3x + 5 par x − 2 ?

Le reste est P(2) = 8 − 6 + 5 = 7.

6Le second degré : forme canonique et factorisation

🎧 Écouter

Un polynôme du second degré s'écrit ax² + bx + c avec a ≠ 0. En Seconde, on n'utilise pas le discriminant. On passe par la forme canonique, qui consiste à « fabriquer » un carré.

Exemple 1 : x² + 6x + 5.

x² + 6x est le début de (x + 3)² = x² + 6x + 9.
x² + 6x + 5 = (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4. C'est la forme canonique.
On reconnaît a² − b² avec a = x + 3 et b = 2 : (x + 3 − 2)(x + 3 + 2) = (x + 1)(x + 5).

Exemple 2 : 2x² − 12x + 10. On met 2 en facteur : 2(x² − 6x + 5) = 2[(x − 3)² − 4] = 2(x − 5)(x − 1).

Exemple 3 : x² + 2x + 5. x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4. Un carré plus 4 : c'est toujours strictement positif. Cette expression ne s'annule jamais et ne se factorise pas.

À retenir Forme canonique : a[(x − α)² + β]. Si β est négatif, on factorise avec a² − b². Si β est positif, il n'y a pas de zéro.

Vérifie-toi

Factorise x² − 4x − 5.

x² − 4x − 5 = (x − 2)² − 4 − 5 = (x − 2)² − 9 = (x − 5)(x + 1).

7Étudier le signe d'un polynôme

🎧 Écouter

On part d'une expression déjà factorisée et on dresse un tableau de signes : on étudie le signe de chaque facteur, puis on applique la règle des signes.

Le trinôme a(x − x₁)(x − x₂), avec x₁ < x₂ Il est du signe de a à l'extérieur des zéros, du signe contraire de a entre les zéros, et nul en x₁ et x₂.

Exemple 1 : x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5). Ici a = 1 est positif.

Positif pour x < 1 et pour x > 5.
Négatif pour 1 < x < 5.
Nul en 1 et en 5.

Exemple 2 : −x² + 4x + 5 = −(x − 5)(x + 1). Ici a = −1 est négatif. À l'extérieur des zéros, le signe est celui de a : négatif. Entre les zéros, il est contraire : positif pour −1 < x < 5. Test : x = 0 donne 5, positif, et 0 est bien entre −1 et 5.

Pour un produit de plusieurs facteurs On place les zéros de chaque facteur sur une même ligne, on étudie chaque signe, puis on multiplie les signes colonne par colonne.

Vérifie-toi

Pour quelles valeurs de x a-t-on (x − 2)(x + 3) < 0 ?

Les zéros sont −3 et 2, et a = 1 est positif : le produit est négatif entre les zéros, donc pour −3 < x < 2.

8Les fractions rationnelles

🎧 Écouter

Définition. Une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes P(x)/Q(x), où Q n'est pas le polynôme nul. En Seconde, les degrés sont au plus 3.

Où est-elle définie ?

On ne peut pas diviser par 0. Les zéros du dénominateur sont les valeurs interdites. L'ensemble de définition est ℝ privé de ces valeurs.

Exemple. F(x) = (x + 1)/(x² − 4). Le dénominateur x² − 4 = (x − 2)(x + 2) s'annule en 2 et en −2. L'ensemble de définition est ℝ \ {−2 ; 2}.

Simplifier

On factorise le numérateur et le dénominateur, puis on simplifie par le facteur commun. Les valeurs interdites restent interdites.

Exemple. (x² − 4)/(x² − x − 2) = (x − 2)(x + 2)/((x − 2)(x + 1)) = (x + 2)/(x + 1), pour x différent de 2 et de −1.

Étudier le signe

Même tableau de signes qu'un produit : on place les zéros du numérateur et ceux du dénominateur (valeurs interdites). Pour (x + 2)/(x + 1) : positif si x < −2 ou x > −1, négatif si −2 < x < −1.

Autres écritures

Par division euclidienne : (x² + 4x + 20)/(x + 2) = x + 2 + 16/(x + 2).
Par identification : on cherche a et b tels que 4/(x² − 4) = a/(x − 2) + b/(x + 2). On met au même dénominateur : a(x + 2) + b(x − 2) = 4. Donc a + b = 0 et 2a − 2b = 4, d'où a = 1 et b = −1. Ainsi 4/(x² − 4) = 1/(x − 2) − 1/(x + 2).

Piège On ne simplifie jamais « terme à terme » : (x + 2)/(x + 3) n'est pas égal à 2/3. On simplifie seulement des facteurs.

Vérifie-toi

Quel est l'ensemble de définition de 1/(x² − 5x + 6) ?

x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) s'annule en 2 et en 3. L'ensemble de définition est ℝ \ {2 ; 3}.

Polynômes et fractions rationnelles

🧭 Savoir-faire

Les 5 temps d'un exercice

Si tu vois… pense à…

Les fiches méthode

Démarche

Démarche

Démarche

Démarche

Démarche

Démarche

Démarche

Démarche

Deux cas

Démarche

Les 12 erreurs de copie à éviter

📖 Cours

1Qu'est-ce qu'un polynôme ?

2Zéro d'un polynôme et égalité de deux polynômes

3Somme, produit et identités remarquables

Les degrés

Les identités remarquables

4Factoriser par x − α

5Factoriser par division euclidienne

6Le second degré : forme canonique et factorisation

7Étudier le signe d'un polynôme

8Les fractions rationnelles

Où est-elle définie ?

Simplifier

Étudier le signe

Autres écritures

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?QCM de la leçon

✏️ Exercices

✎Exercices corrigés

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