Seconde C · Mathématiques · Leçon 1

Ensemble des nombres réels

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🧭 Savoir-faire

Comment réussir un exercice, étape par étape, et éviter les erreurs qui coûtent des points.

Les 5 temps d'un exercice

Même quand le sujet fait peur, on suit toujours le même chemin. Coche chaque temps en appuyant dessus.

  1. 1ComprendreLis l'énoncé deux fois. Souligne les données et la question. Fais un petit schéma si tu peux.
  2. 2Traduire en mathsÉcris ce que dit l'énoncé avec des symboles : |x − a| ≤ r, 2 ≤ x ≤ 5, x ∈ [1 ; 4]…
  3. 3Choisir l'outilQuelle règle du cours s'applique ? Aide-toi du tableau « si tu vois… pense à… » plus bas.
  4. 4Calculer proprementUne ligne, une idée. Attention aux signes et au sens des inégalités.
  5. 5Conclure et vérifierÉcris une phrase de réponse. Teste une valeur pour voir si ton résultat est crédible.

Si tu vois… pense à…

|x − a| = rDistance de x à a. Si r < 0 : aucune solution. Si r = 0 : x = a. Si r > 0 : x = a − r ou x = a + r.
|x − a| ≤ rx est dans la zone autour de a : S = [a − r ; a + r].
|A| = |B|Deux cas : A = B ou A = −B.
|A| = B, avec B contenant xMéthode par cas : regarde le signe de A, puis résous dans chaque cas.
|A| = 0Ça équivaut à A = 0, rien d'autre.
√(x²)C'est |x|, jamais « x » tout court.
Encadre a − bOn passe par l'opposé : a − b = a + (−b).
Encadre a × b avec un signe qui changeTeste les 4 combinaisons de bornes.
Maximum ?Le plafond est-il dans l'ensemble ? Si non, pas de maximum.
Arrondi d'ordre nRegarde la décimale suivante : ≥ 5, on arrondit au-dessus.
« Dis qui a raison »Traduis chaque affirmation en maths, teste-la, puis conclus.

Les fiches méthode

Ouvre la fiche qui correspond à ton exercice.

🔢 Classer un nombre

Démarche

  1. Simplifie le nombre : √16 = 4, −12/3 = −4.
  2. Écris-le en décimal si possible : s'arrête-t-il ? C'est un décimal (D).
  3. Est-ce une fraction a/b ? C'est un rationnel (ℚ).
  4. Sinon, avec une racine ou π qui ne se simplifie pas : irrationnel, il est dans ℝ.
❌ Ce que beaucoup écrivent« 1/3 = 0,33 donc c'est un décimal »
✅ À écrire1/3 = 0,333… ne s'arrête jamais : rationnel, pas décimal. 0,33 n'est qu'une valeur approchée.
⚖️ Comparer deux réels

Démarche

  1. Calcule la différence a − b.
  2. Regarde son signe : positive, a ≥ b ; négative, a ≤ b.
  3. Si a et b sont positifs, tu peux aussi comparer leurs carrés.
Exemple corrigé

Compare 4/5 et 5/6. On calcule 4/5 − 5/6 = (24 − 25)/30 = −1/30 < 0. Donc 4/5 < 5/6.

Compare 5√2 et 7. Les deux sont positifs et (5√2)² = 50, 7² = 49. Donc 5√2 > 7.

❌ PiègeMettre au carré des nombres négatifs : −3 ≤ 2 mais 9 > 4.
✅ À retenirLe carré conserve l'ordre seulement entre nombres positifs.
📏 Encadrer une expression

Démarche

  1. Écris l'encadrement de chaque lettre.
  2. Multiplie : par un nombre positif, le sens reste ; par un négatif, le sens s'inverse.
  3. Additionne les encadrements. On ne soustrait jamais directement.
  4. Pour une différence, passe par l'opposé.
Exemple corrigé

1 ≤ x ≤ 4 et 2 ≤ y ≤ 3. On encadre 2x − 3y.

2x : 2 ≤ 2x ≤ 8. −3y : −9 ≤ −3y ≤ −6. On additionne : −7 ≤ 2x − 3y ≤ 2.

Astuce. Pour un produit x × y quand un des deux peut être négatif, calcule les quatre produits « bornes × bornes » et prends le plus petit et le plus grand.
❌ Ce que beaucoup écrivent2 ≤ x ≤ 4 et 1 ≤ y ≤ 3, donc 2 − 1 ≤ x − y ≤ 4 − 3.
✅ À écrire−3 ≤ −y ≤ −1, donc 2 − 3 ≤ x − y ≤ 4 − 1, soit −1 ≤ x − y ≤ 3.
🔝 Majorant, minorant, maximum, minimum

Démarche

  1. Écris l'ensemble sous forme d'intervalle.
  2. Repère les bornes : à gauche le minorant naturel, à droite le majorant naturel.
  3. La borne appartient-elle à l'ensemble ? Crochet fermé : oui, c'est un min ou un max. Crochet ouvert : non, pas de min ou de max.
Exemple corrigé

A = {x ∈ ℝ | −1 < x ≤ 2} = ]−1 ; 2]. Maximum : 2. Pas de minimum, car −1 est exclu. Les minorants sont tous les réels ≤ −1.

✂️ Enlever les valeurs absolues (tableau de signes)

Démarche

  1. Cherche quand chaque expression entre barres change de signe.
  2. Découpe la droite en zones.
  3. Dans chaque zone, remplace |A| par A si A ≥ 0, par −A si A ≤ 0.
  4. Simplifie zone par zone.
Exemple corrigé

E(x) = |x − 1| + |x + 3|. Les changements de signe se font en x = 1 et x = −3.

Si x < −3 : E = (1 − x) + (−x − 3) = −2x − 2.
Si −3 ≤ x ≤ 1 : E = (1 − x) + (x + 3) = 4.
Si x > 1 : E = (x − 1) + (x + 3) = 2x + 2.

Test : x = 0 donne 1 + 3 = 4 ✓.

🟰 Résoudre une équation avec valeur absolue

Il y a 4 types d'équations. Reconnais le tien.

  1. |x − a| = r : distance de x à a. Voir le tableau plus haut.
  2. |A| = |B| : A = B ou A = −B.
  3. |A| = B avec x dans B, comme |x| = x : méthode par cas.
  4. |A| = 0 ou |A| = un nombre négatif : regarde ce qui est possible.
Exemple corrigé : |2x − 3| = |x + 1|

Cas 1 : 2x − 3 = x + 1, donc x = 4.
Cas 2 : 2x − 3 = −(x + 1), donc 3x = 2, donc x = 2/3.

S = {2/3 ; 4}. Vérification : x = 4 donne |5| = |5| ✓ ; x = 2/3 donne |−5/3| = |5/3| ✓.

Exemple corrigé : |x| = x

Cas 1 : x ≥ 0. Alors |x| = x, l'équation devient x = x : c'est toujours vrai. Tous les x ≥ 0 conviennent.

Cas 2 : x < 0. Alors |x| = −x, l'équation devient −x = x, donc x = 0. Mais on avait x < 0 : contradiction, aucune solution ici.

Conclusion : S = [0 ; +∞[. En clair : un nombre est égal à sa valeur absolue exactement quand il est positif ou nul.

❌ Réponse fausse« S = {0} » : on a trouvé 0 mais oublié tous les autres positifs.
✅ À écrireS = [0 ; +∞[ (tous les réels positifs ou nuls).
Exemple corrigé : |x² + 2| = 0

Pour tout réel x, x² ≥ 0, donc x² + 2 ≥ 2 > 0. L'expression est toujours strictement positive, donc |x² + 2| = x² + 2 ≥ 2.

Elle ne peut jamais valoir 0. S = ∅.

Autre rédaction : |A| = 0 équivaut à A = 0, donc x² + 2 = 0, donc x² = −2. Un carré n'est jamais négatif : impossible.

❌ Réponse fausse« x² = −2, donc x = √(−2) » ou « x = ±√2 ». Une racine carrée d'un négatif n'existe pas dans ℝ.
✅ À écrireImpossible, car un carré est positif. S = ∅.
🎯 Résoudre une inéquation |x − a| ≤ r

Démarche

  1. Mets l'inéquation sous la forme |x − a| ≤ r (factorise si besoin).
  2. Regarde r : s'il est négatif, S = ∅.
  3. Écris a − r ≤ x ≤ a + r.
  4. Donne S sous forme d'intervalle. Crochet fermé si ≤, ouvert si <.
Exemples corrigés

|x − 4| ≤ 3 donne 1 ≤ x ≤ 7, S = [1 ; 7].

|2x + 1| ≤ 5 : on peut écrire −5 ≤ 2x + 1 ≤ 5, donc −6 ≤ 2x ≤ 4, donc S = [−3 ; 2].

Astuce. Teste toujours une valeur à l'intérieur (x = 0 pour [−3 ; 2] : |1| ≤ 5 ✓) et une valeur à l'extérieur.
🔬 Approximations et arrondis

Démarche

  1. Écris le nombre avec assez de décimales.
  2. Garde les n premières décimales : c'est l'approximation par défaut.
  3. Ajoute 1 au dernier chiffre gardé : c'est l'approximation par excès.
  4. L'arrondi est celui des deux qui est le plus proche. Regarde la décimale suivante.
Exemple corrigé

2/3 = 0,6666… Ordre 2 : 0,66 ≤ 2/3 ≤ 0,67. La décimale suivante est 6, donc l'arrondi est 0,67 (et pas 0,66).

❌ Ce que beaucoup écrivent« Arrondi de 2/7 à 0,01 : 0,28 » (en coupant).
✅ À écrire2/7 = 0,2857… La décimale suivante est 8 : arrondi 0,29.
🧩 Réussir une situation complexe

Une situation complexe raconte une histoire et finit par « dis qui a raison ». Elle est notée sur trois critères : as-tu compris la situation, as-tu utilisé les bons outils, ta réponse est-elle cohérente.

Démarche

  1. Comprendre : qui dit quoi ? Surligne les nombres et la question. Fais un schéma.
  2. Traduire : écris chaque affirmation en maths (un intervalle, une inégalité, une distance).
  3. Choisir l'outil : encadrement, valeur absolue, intervalle ? Une phrase pour dire pourquoi.
  4. Calculer : propre, une idée par ligne, sans sauter d'étape.
  5. Conclure : réponds à la question posée, par une phrase complète, avec l'unité (kg, FCFA, km…).
Exemple corrigé

Un commerçant affirme : « mon sac pèse 25 kg à 0,2 kg près ». La norme est |m − 25| ≤ 0,5. Le sac est-il conforme ?

Traduire : « 25 à 0,2 près » veut dire |m − 25| ≤ 0,2, donc 24,8 ≤ m ≤ 25,2. La norme dit 24,5 ≤ m ≤ 25,5.

Comparer : 24,5 ≤ 24,8 et 25,2 ≤ 25,5.

Conclure : le sac est conforme à coup sûr, car tous les poids possibles respectent la norme.

Astuce. Écris toujours une phrase finale qui répond à la question : c'est elle qui rapporte le critère « cohérence ».

Les 12 erreurs de copie à éviter

Relis-les avant chaque devoir.

1
❌|x| = x donc S = {0}
✅S = [0 ; +∞[
2
❌|x² + 2| = 0 donc x = ±√2
✅x² + 2 ≥ 2 : impossible, S = ∅
3
❌|−5| = −5
✅|−5| = 5
4
❌√(x²) = x
✅√(x²) = |x|
5
❌|a + b| = |a| + |b|
✅|a + b| ≤ |a| + |b| (égalité seulement parfois)
6
❌−3 ≤ 2 donc (−3)² ≤ 2²
✅9 > 4 : le carré ne garde l'ordre que pour des positifs
7
❌2 ≤ x ≤ 4 et 1 ≤ y ≤ 3 donc 1 ≤ x − y ≤ 1
✅−1 ≤ x − y ≤ 3 (on passe par −y)
8
❌−2x ≤ 6 donc x ≤ −3
✅On divise par −2 : le sens s'inverse, x ≥ −3
9
❌|x − 3| = 2 donc x = 5
✅x = 1 ou x = 5 (deux points à distance 2 de 3)
10
❌« ]2 ; 5] contient 2 »
✅2 est exclu et 5 est inclus
11
❌1/3 = 0,33 et π = 3,14
✅Ce sont des valeurs approchées : on écrit ≈
12
❌Arrondi de 2/7 à 0,01 : 0,28 (on coupe)
✅0,29 : on regarde la décimale suivante